Εύρεση του ελαχιστικού πολυωνύμου του αθροίσματος και του γινομένου δύο αλγεβρικών αριθμών

TrItOs · #1

Γνωρίζω ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών επί του σώματος των ρητών αριθμών, $\mathbb{Q}$ , είναι σώμα.

Ερώτηση: Αν οι αριθμοί

και

είναι αλγεβρικοί αριθμοί επί του σώματος $\mathbb {Q}$ και έστω $\varphi_ {a} (x) \in \mathbb{Q}[x]$ και $\varphi_ {b}(x) \in \mathbb{Q}[x]$ τα ελαχιστικά πολυώνυμα των

και

, αντίστοιχα. Το ερώτημά μου είναι ποιο είναι το ελαχιστικό πολυώνυμο των αριθμών a+b

και

;

Μπορείτε να βοηθήσετε ως προς την επίλυση ή να μου πείτε που να ψάξω για να βρω την λύση.

Έχω την πεποίθηση ότι αν $\varphi_{a}(x) = \prod\limits_{i=1}^{n} (x - a_{i})$ και $\varphi_{b}(x) = \prod\limits_{j=1}^{m} (x - b_{j})$ με τα $a_{i}, b_{j}$ πιθανόν να μην ανήκουν όλοι στο $\mathbb{Q}$ , ότι $\varphi_{a+b}(x) = \prod\limits_{i=1}^{n} \prod\limits_{j=1}^{m} \big(x - ( a_{i} + b_{j} ) \big)$ και $\varphi_{a b}(x) = \prod\limits_{i=1}^{n} \prod\limits_{j=1}^{m} \big(x - a_{i} b_{j} \big)$ , απλά δεν γνωρίζω αν τα πολυώνυμα $\varphi_{a+b}(x), \varphi_{a b}(x)$ έχουν συντελεστές στο $\mathbb{Q}$ ;

Για παράδειγμα, έστω ότι ο αριθμός $r \neq 0$ είναι αλγεβρικός αριθμός επί του σώματος $\mathbb{Q}$ βαθμού $n \in \mathbb{N}$ και ας είναι $\varphi_{r}(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{o} \in \mathbb{Q}[x]$ , με $a_{0} \neq 0$ , το ελαχιστικό πολυώνυμο του

.
Τότε ο $\frac{1}{r}$ είναι αλγεβρικός αριθμός επί του σώματος $\mathbb{Q}$ βαθμού $n \in \mathbb{N}$ με ελαχιστικό πολυώνυμο $\varphi_{\frac{1}{r}}(x) = x^{n} + \frac{a_{1}}{a_{0}} x^{n-1} + \frac{a_{2}}{a_{0}} x^{n-2} + \cdots + \frac{a_{n-2}}{a_{0}} x^{2} + \frac{a_{n-1}}{a_{0}} x + \frac{1}{a_{0}} \in \mathbb{Q}[x]$ , διότι
$\varphi_{\frac{1}{r}}(\frac{1}{r}) = \frac{1}{r^{n}} + \frac{a_{1}}{a_{0}} \frac{1}{r^{n-1}} + \frac{a_{2}}{a_{0}} \frac{1}{r^{n-2}} + \cdots + \frac{a_{n-2}}{a_{0}} \frac{1}{r^{2}} + \frac{a_{n-1}}{a_{0}} \frac{1}{r} + \frac{1}{a_{0}} = \frac{r^{n} + a_{n-1} r^{n-1} + a_{n-2} r^{n-2} + \cdots + a_{2} r^{2} + a_{1} r + a_{o}}{a_{0} r^{n}} =$
$= \frac{\varphi_{r}(r)}{a_{0} r^{n}} = 0$ .

Ελαχιστικό πολυώνυμο του αλγεβρικού αριθμού

επί του σώματος $\mathbb{Q}$ βαθμού $m \in \mathbb{N}$ , το συμβολίζουμε $\varphi_{c}(x) \in \mathbb{Q}[x]$ χαρακτηρίζουμε το πολυώνυμο το οποίο είναι μη μηδενικό, έχει συντελεστές στους ρητούς αριθμούς, μονικό (ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής ισούται με ένα), έχει ως ρίζα τον αριθμό

και είναι αυτό με τον ελάχιστο βαθμό (δηλαδή δεν υπάρχει πολυώνυμο με τις παραπάνω ιδιότητες βαθμού μικρότερου ή ίσου του m-1

).

#2

TrItOs έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 13, 2021 5:51 pm
Έχω την πεποίθηση ότι αν $\varphi_{a}(x) = \prod\limits_{i=1}^{n} (x - a_{i})$ και $\varphi_{b}(x) = \prod\limits_{j=1}^{m} (x - b_{j})$ με τα $a_{i}, b_{j}$ πιθανόν να μην ανήκουν όλοι στο $\mathbb{Q}$ , ότι $\varphi_{a+β}(x) = \prod\limits_{i=1}^{n} \prod\limits_{j=1}^{m} \big(x - ( a_{i} + b_{j} ) \big)$ και $\varphi_{a b}(x) = \prod\limits_{i=1}^{n} \prod\limits_{j=1}^{m} \big(x - a_{i} b_{j} \big)$ , απλά δεν γνωρίζω αν τα πολυώνυμα $\varphi_{a+b}(x), \varphi_{a b}(x)$ έχουν συντελεστές στο $\mathbb{Q}$ ;

Η απάντηση είναι καταφατική. Λ.χ. βλ. στο
Pollard, Diamond The theory of algebraic Numbers Dover, 1998 (1975)
το πόρισμα 3.12 σελ 39. Στην 1η έκδοση του ιδίου βιβλίου του Pollard που έγινε από την ΜΑΑ το πόρισμα βρίκεται στην σελίδα 33 με τον ίδιο αριθμό.

TrItOs · #3

Ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας.

Απάντηση:
Υποθέτουμε ότι $\varphi_{a}(x) = \prod\limits_{i=1}^{n} (x - a_{i})$ και $\varphi_{b}(x) = \prod\limits_{j=1}^{m} (x - b_{j})$ με τα $a_{i}, b_{j}$ πιθανόν να μην ανήκουν όλοι στο $\mathbb{Q}$ .
Παρατηρούμε ότι:
$\varphi_{a}(x - b_{j}) = \prod\limits_{i=1}^{n} \big( x - ( a_{i} + b_{j} ) \big), \forall j \in \{ 1, 2, \ldots , m \}$ , οπότε $\mathbb{Q}[x] \ni \prod\limits_{j=1}^{m} \varphi_{a}(x - b_{j}) = \prod\limits_{j=1}^{m} \prod\limits_{i=1}^{n} \big( x - ( a_{i} + b_{j} ) \big) = \varphi_{a+b}(x)$ .
και
αν $\forall j \in \{ 1, 2, \ldots , m \} : b_{j} \neq 0$ έχουμε $\varphi_{a} \big( \frac{x}{b_{j}} \big) = \prod\limits_{i=1}^{n} \Big( \frac{x}{b_{j}} - a_{i} \Big) = \prod\limits_{i=1}^{n} \frac{x - a_{i} b_{j}}{b_{j}}, \forall j \in \{ 1, 2, \ldots , m \}$ , οπότε $\mathbb{Q}[x] \ni \prod\limits_{j=1}^{m} \varphi_{a} \big( \frac{x}{b_{j}} \big) = \frac{1}{\underbrace{b_{1} b_{2} \cdots b_{m}}_{\in \mathbb{Q}}} \prod\limits_{j=1}^{m} \prod\limits_{i=1}^{n} \big( x - a_{i} b_{j} ) \big)$ , άρα $\varphi_{ab}(x) = \prod\limits_{j=1}^{m} \prod\limits_{i=1}^{n} \big( x - a_{i} b_{j} ) \big)$ .
Επιπλέον, χρησιμοποιήσαμε και τους τύπους Viète των πολυωνύμων $\varphi_{a}(x)$ και $\varphi_{b}(x)$ .

Αν υπάρχει κάπου κενό στην απάντηση, διορθώστε με.

Εύρεση του ελαχιστικού πολυωνύμου του αθροίσματος και του γινομένου δύο αλγεβρικών αριθμών

Εύρεση του ελαχιστικού πολυωνύμου του αθροίσματος και του γινομένου δύο αλγεβρικών αριθμών

Re: Εύρεση του ελαχιστικού πολυωνύμου του αθροίσματος και του γινομένου δύο αλγεβρικών αριθμών

Re: Εύρεση του ελαχιστικού πολυωνύμου του αθροίσματος και του γινομένου δύο αλγεβρικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση