Σώμα

pito · #1

Καλησπέρα

.

Έχει κάποιος συνάδελφος υπόψιν του που μπορώ να βρω την απόδειξη της πρότασης : "Το σύνολο $\{1,2,...,r-1\}$ εφοδιασμένο με τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός modulo

είναι σώμα μόνο αν το

είναι πρώτος αριθμός;"

Ευχαριστώ.

#2

pito έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 12:20 pm
...Έχει κάποιος συνάδελφος υπόψιν του που μπορώ να βρω την απόδειξη της πρότασης : "Το σύνολο $\{1,2,...,r-1\}$ εφοδιασμένο με τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός modulo είναι σώμα μόνο αν το είναι πρώτος αριθμός;"..

Η απόδειξη δεν είναι δύσκολη και μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους. Ένας από αυτούς είναι στο proofwiki/Ring_of_Integers_Modulo_Prime_is_Field

ή δοκίμασε να αποδείξεις τα παρακάτω:
A) Τα (πολλαπλασιαστικώς) αντιστρέψιμα στοιχεία (μονάδες) του πεπερασμένου δακτυλίου $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)\,,\; n\in\mathbb{N}$ αποτελούν (πολλαπλασιαστική) ομάδα $(\mathbb{Z}_n^{\ast},\cdot)$ (ποια είναι αυτά;)
Β) Σε έναν πεπερασμένο αντιμεταθετικό δακτύλιο, κάθε μη-μηδενικό στοιχείο είναι είτε αντιστρέψιμο (μονάδα), είτε μηδενοδιαιρέτης.
Γ) Ο (πεπερασμένος μεταθετικός) δακτύλιος $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ είναι ακεραία περιοχή, τότε-τότε αν ο

είναι πρώτος.

BAGGP93 · #3

Γεια σου Μυρτώ και γεια σου Γρηγόρη.

Μυρτώ, αρχικά, νομίζω ότι ήθελες να γράψεις $\displaystyle{R=\left\{0,1,...,r-1\right\}}$ και όχι $\displaystyle{\left\{1,...,r-1\right\}}$ .

Με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού modulo $\displaystyle{r}$ το παραπάνω σύνολο είναι μεταθετικός δακτύλιος με

μονάδα $\displaystyle{1}$ . Αν $\displaystyle{r}$ πρώτος, τότε είναι σώμα. Πράγματι, έστω $\displaystyle{x\in\left\{1,...,r-1\right\}$ .

Το ιδεώδες $\displaystyle{\langle{x\rangle}=\left\{y\,x\in R\,,y\in R\right\}}$ είναι υποομάδα της $\displaystyle{\left(R,+\right)}$

άρα, $\displaystyle{o(x)\mid |R|=r \stackrel{x\neq 0}{\implies} o(x)=r\implies \langle{x\rangle}=R}$ , και τότε

$\displaystyle{1\in R\implies 1\in \langle{x\rangle}\implies \exists\,y\in R\,,1=y\,x=x\,y}$ , που σημαίνει ότι το $\displaystyle{x}$ είναι

αντιστρέψιμο. Αφού κάθε μη μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο, έχουμε σώμα.

Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι το $\displaystyle{R}$ είναι σώμα. Αν ο $\displaystyle{r}$ δεν είναι πρώτος, τότε υπάρχει πρώτος διαιρέτης

$\displaystyle{p}$ του $\displaystyle{r}$ και γράφουμε $\displaystyle{r=p\,t}$ , όπου $\displaystyle{1\leq t<r}$ .

Τότε, το στοιχείο $\displaystyle{t}$ στην αβελιανή ομάδα $\displaystyle{\left(R,+\right)}$ τάξης $\displaystyle{r}$ έχει

τάξη ίση με $\displaystyle{p}$ , οπότε το ιδεώδες $\displaystyle{\langle{t\rangle}$ είναι μη τετριμμένο. Στα σώματα, τα

μόνα ιδέωδη είναι το τετριμμένο και όλος ο δακτύλιος. Συνεπώς, $\displaystyle{R=\langle{t\rangle}$ και τότε

$\displaystyle{r=|R|=o(t)=p}$ , όπως θέλαμε. Με την παραπάνω απόδειξη, αποδεικνύονται και όλα τα ερωτήματα που έθεσε ο Γρηγόρης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να δώσω μια απευθείας απόδειξη. Το μόνο που χρειάζεται είναι το μικρό Fermat.

Είναι εύκολο ότι ο $\mathbb{Z}_{r}$ είναι μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο.

Εστω

όχι πρώτος. Τότε r=mn,1<m<r,1<n<r

Αρα $0=\bar{m}\bar{n},\bar{m},\bar{n}\neq 0$

Αρα ο $\mathbb{Z}_{r}$ έχει μηδενοδιαιρέτες.Αρα το $\mathbb{Z}_{r}$ όχι σώμα.

Δείξαμε λοιπόν ότι αν το
$\mathbb{Z}_{r}$ είναι σώμα τότε ο

είναι πρώτος.

Εστω ότι ο

είναι πρώτος.

Αν $\bar{a}\in \mathbb{Z}_{r},\bar{a}\neq 0$ τότε (a,r)=1

Από Fermat είναι

$a^{r-1}=1modr$

Δηλαδή στο $\mathbb{Z}_{r}$ είναι

$\bar{a}\bar{a^{r-2}}=\bar{1}$

Ετσι κάθε μη μηδενικό στοιχείο έχει αντίστροφο.Αρα είναι σώμα.

συμπλήρωμα.
Μπορούμε να αγνοήσουμε το Fermat.

Από το (a,r)=1

υπάρχουν ακέραιοι με ak+rl=1

Οπότε $\bar{a}\bar{k}=\bar{1}$ κλπ

χρηστος ευαγγελινος · #5

Κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα. Τα βασικά βήματα της απόδειξης έχουν ως εξής:

1. Αρκεί να δείξεις ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο έχει αντίστροφο. Οπότε θεωρείς το τυχόν μη μηδενικό στοιχείο.

2. Φτιάχνεις όλα τα γινόμενα του στοιχείου που πήρες με κάθε στοιχείο της ακέραιας περιοχής.

3. Αποδεικνύεις ότι όλα αυτά τα γινόμενα είναι διαφορετικά ανά δύο. Για αυτό θα χρησιμοποιήσεις ότι η ακέραια περιοχή δεν έχει μηδενοδιαιρέτες.

4. Επομένως ο πολλαπλασιασμός με το στοιχείο που πήρες ξαναδημιουργεί όλα τα στοιχεία της ακέραιας περιοχής ενδεχομένως με άλλη σειρά. Έδω θα φανεί και το αναγκαίο του να έχουμε εξ αρχής πεπερασμένη ακέραια περιοχή.

5. Άρα κάποιο από αυτά τα γινόμενα είναι ίσο με το 1 (το μοναδιαίο στοιχείο ). Επομένως το στοιχείο που θεώρησες στην αρχή είναι αντιστρέψιμο.

σχόλιο: Στο βήμα 4 φαίνεται και γιατί υπάρχουν ακέραιες περιοχές που δεν είναι σώματα. Το πιο απλό παράδειγμα ακέραιας περιοχής που δεν είναι σώμα είναι ο δακτύλιος των ακεραίων με τις γνωστές πράξεις. Φυσικά το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο.

Σώμα

Σώμα

Re: Σώμα

Re: Σώμα

Re: Σώμα

Re: Σώμα

Μέλη σε σύνδεση