EMC 2024

Ορέστης Λιγνός · #1

Καλησπέρα στην Μαθηματική κοινότητα και στα μέλη της που ασχολούνται με τους Μαθηματικούς διαγωνισμούς.

Φέτος είναι η 13η χρονιά που διοργανώνεται το European Mathematical Cup (Ευρωπαϊκό Μαθηματικό Κύπελλο), ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου.
Ο διαγωνισμός οργανώνεται σε 2 επίπεδα (Juniors, Seniors) με επίπεδο θεμάτων λίγο υψηλότερο των αντίστοιχων Βαλκανιάδων (JBMO, BMO).

Για περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να επισκεφτείτε το site του διαγωνισμού, ενώ παλιά θέματα μπορείτε να δείτε εδώ. Στο site του διαγωνισμού είναι, τέλος, διαθέσιμοι και οι (επικαιροποιημένοι) κανόνες του.

Για δήλωση συμμετοχής ή περισσότερες πληροφορίες, στείλτε μου e-mail στη διεύθυνση orelig2006@gmail.com. Σημειώνεται ότι ένας μαθητής μπορεί να λάβει μέρος στην κατηγορία Juniors του διαγωνισμού αν την μέρα της εξέτασης δεν έχει κλείσει το 17ο έτος της ηλικίας του και δεν έχει λάβει στο παρελθόν μέρος στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (ΙΜΟ). Αν όμως κάποιος θέλει να προπονηθεί για τους αντίστοιχους εγχώριους/διεθνείς διαγωνισμούς, συνίσταται η κατηγορία που θα επιλέξει να είναι η ανάλογη.
Οι υπόλοιποι μαθητές μπορούν να συμμετέχουν μόνο στην κατηγορία των Seniors.

Στη δήλωση συμμετοχής θα πρέπει να υπάρχουν τα ακόλουθα:

Όνομα του διαγωνιζόμενου, στα ελληνικά και στα αγγλικά.
Ηλικία και Τάξη.
Κατηγορία στην οποία θέλει να συμμετέχει στο διαγωνισμό (Juniors ή Seniors).

Για παράδειγμα:

Ορέστης Λιγνός/Orestis Lignos
16 ετών, Α' Λυκείου
Juniors

Φέτος ο διαγωνισμός λαμβάνει χώρα από τις 14 έως τις 22 Δεκεμβρίου. Σκοπεύουμε, μαζί με τον Ιάσονα Προδρομίδη (kyprianos@prodromidis.com), να διοργανώσουμε την εξέταση στο τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ στην Αθήνα.

Όσοι δυσκολεύονται με τη μετακίνηση ή έχουν αλλά κωλύματα παρακαλώ να επικοινωνήσουν μαζί μου.

(Εκ των υστέρων προσθήκη: Αυτή τη στιγμή, η επικρατέστερη ημερομηνία είναι η Κυριακή 22 Δεκεμβρίου)

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 01, 2024 6:12 pm
... Σκοπεύουμε, μαζί με τον Ιάσονα Προδρομίδη (kyprianos@prodromidis.com), να διοργανώσουμε την εξέταση στο τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ στην Αθήνα, σε ένα από τα δύο Σάββατα (14 ή 21 Δεκεμβρίου).

Εύγε στην πρωτοβουλία σας.

Ορέστης Λιγνός · #3

Ο φετινός διαγωνισμός θα διεξαχθεί την Κυριακή 22 Δεκεμβρίου στο τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ, στις 11:00 το πρωί. Η αίθουσα διεξαγωγής του διαγωνισμού είναι το Αναγνωστήριο (εκεί όπου είχε γίνει και πέρυσι ο διαγωνισμός).

Η πρόσβαση στο τμήμα είναι πιο βολική τα Σαββατοκύριακα με το λεωφορείο 608, που σταματάει στο Νεκροταφείο Ζωγράφου (5 λεπτά με τα πόδια από το τμήμα).

Για να μην χαθούμε, θα είμαι στο τμήμα από τις 10:30 και θα περιμένω έξω από την κεντρική του είσοδο.

Σας περιμένουμε όλους εκεί!

Ορέστης Λιγνός · #4

Ο διαγωνισμός έχει πια ολοκληρωθεί. Ευχαριστούμε όλους τους μαθητές που διαγωνίστηκαν φέτος. Παραθέτω τα θέματα προς συζήτηση:

Θέματα Μικρών (Junior Category):

Πρόβλημα 1: Ο Ορέστης έγραψε έναν 2024-

ψήφιο θετικό ακέραιο στον πίνακα. Σε κάθε γύρο του παιχνιδιού, σβήνει το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, ας είναι το

, και γράφει το άθροισμα του αριθμού που έμεινε και του

στη θέση του παλιού αριθμού. Ο Ορέστης επαναλαμβάνει τα βήματα με τον καινούριο αριθμό. Μετά από κάποιον συγκεκριμένο αριθμό γύρων, ο Ορέστης διαπιστώνει ότι ο αριθμός που προέκυψε είναι ο ίδιος με τον προτελευταίο και αυτομάτως σταματάει το παιχνίδι. Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή του 2024-

ψήφιου ακεραίου που μπορεί
να έγραψε ο Ορέστης αρχικά στον πίνακα;

(Kai Chen)

Πρόβλημα 2: Έστω

η μεγαλύτερη δυνατή τιμή της παράστασης

$\displaystyle \min \{ bc,2-a^2 \} +\min \{ac, 2-b^2 \} + \min \{ab,2-c^2 \},$

όπου a,b

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Ομοίως, έστω

η μικρότερη δυνατή τιμή της παράστασης

$\displaystyle \max \{ a^2, 2-bc \} +\max \{b^2,2-ac \}+\max \{c^2,2-ab \},$

όπου a,b

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι X=Y

.

(Ognjen Tešić)

Πρόβλημα 3: ́Εστω ABC

τρίγωνο με έκκεντρο

και εγγεγραμμένο κύκλο $\omega$ . Έστω $\ell$ η εφαπτομένη στον $\omega$ που είναι παράλληλη στη

και διαφορετική από τη

. Έστω

το σημείο τομής της $\ell$ και της

, και ας είναι

το μέσον του τμήματος $\overline{ID}$ . Να αποδειχθεί ότι $\angle AMD = \angle DBC$ .

(Weihua Wang)

Πρόβλημα 4: ́Εστω $\mathcal{F}$ οικογένεια (διαφορετικών μεταξύ τους) υποσυνόλων του συνόλου $\{1,2, \ldots, n \}$ έτσι ώστε για κάθε $A, B \in \mathcal{F}$ έχουμε ότι $A^c \cup B \in \mathcal{F}$ , όπου A^c

είναι το σύνολο των στοιχείων του $\{ 1, 2, \ldots, n \}$ που δεν ανήκουν στο

.

Να αποδειχθεί ότι κάθε $k \in \{ 1, 2,\ldots , n\}$ εμφανίζεται τουλάχιστον στα μισά στοιχεία της $\mathcal{F}$ .

(Stijn Cambie, Mohammad Javad Moghaddas Mehr)

__________________________________________________________________________________________________________________________

Θέματα Μεγάλων (Senior Category):

Πρόβλημα 1: Ονομάζουμε ένα ζεύγος διακεκριμένων αριθμών (a,b)

ένα δυαδικό ζεύγος αν ο αριθμός ab + 1

είναι δύναμη του

. Δεδομένου ενός συνόλου

που αποτελείται από

θετικούς ακεραίους, ποιο είναι το μέγιστο δυνατό πλήθος δυαδικών ζευγών στο

;

(Oleksii Masalitin)

Πρόβλημα 2: ́Εστω

θετικός ακέραιος. Οι αριθμοί $1, 2, \ldots, 2n + 1$ γράφονται σε έναν κύκλο με τη σειρά αυτή, και κάποιοι εξ' αυτών είναι σημαδεμένοι. Ορίζουμε, για κάθε

τέτοιο ώστε $1 \leq k \leq 2n + 1$ , το διάστημα I_k

να είναι το κλειστό διάστημα του κύκλου που ξεκινάει από το

και τελειώνει στο k + n

(όπου παίρνουμε modulo 2n + 1

αν

). Ονομάζουμε ένα διάστημα I_k

μαγικό αν περιέχει γνησίως περισσότερα από τα μισά σημαδεμένα στοιχεία.

Να αποδείξετε ότι οι εξής προτάσεις είναι ισοδύναμες:

1. Τουλάχιστον n + 1

από τα διαστήματα $I_1, I_2, \ldots, I_{2n+1}$ είναι μαγικά.
2. Ο αριθμός των σημαδεμένων αριθμών είναι περιττός.

(Andrei Constantinescu)

Πρόβλημα 3:́ Έστω $\omega$ ένα ημικύκλιο διαμέτρου $\overline{AB}$ και ας είναι

το μέσο του τμήματος $\overline{AB}$ . Θεωρούμε X, Y

στο ίδιο ημιεπίπεδο με το $\omega$ ως προς την ευθεία

έτσι ώστε το AMXY

να είναι παραλληλόγραμμο. Το

είναι το έκκεντρο του τριγώνου MXY

. Οι ευθείες MX, MY

τέμνουν το $\omega$ στα σημεία C, D

αντιστοίχως. Έστω

το σημείο τομής των

και

.

Η ευθεία

τέμνει την

στο

. Αν

είναι η τομή των

και

η προβολή του

στην ευθεία

, να αποδείξετε ότι το

είναι το μέσο του $\overline{PQ}$ .

(Michal Pecho)

Πρόβλημα 4: Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ έτσι ώστε

f(x + yf(x)) = xf(1 + y)

για κάθε $x, y \in \mathbb{R^+}$ .

Σημείωση. Με $\mathbb{R^+}$ συμβολίζουμε το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.

(Γιάννης Γαλαμάτης)

#5

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2024 10:09 pm

Πρόβλημα 2: Έστω η μεγαλύτερη δυνατή τιμή της παράστασης

$\displaystyle \min \{ bc,2-a^2 \} +\min \{ac, 2-b^2 \} + \min \{ab,2-c^2 \},$

όπου και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Ομοίως, έστω η μικρότερη δυνατή τιμή της παράστασης

$\displaystyle \max \{ a^2, 2-bc \} +\max \{b^2,2-ac \}+\max \{c^2,2-ab \},$

όπου και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι .

.
Θα δούμε, βελτιώνοντας το ζητούμενο, ότι $\boxed {X=Y=3}$ . Πράγματι:

α) Είναι $\max \{ a^2, 2-bc \} \ge a^2$ και κυκλικά. Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

$\displaystyle{ \max \{ a^2, 2-bc \} +\max \{b^2,2-ac \}+\max \{c^2,2-ab \} \ge a^2+b^2+c^2 , \, (*)}$ .

Όμοια $\max \{ a^2, 2-bc \} \ge 2-bc$ και κυκλικά. Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

$\displaystyle{ \max \{ a^2, 2-bc \} +\max \{b^2,2-ac \}+\max \{c^2,2-ab \} \ge 6-(bc+ca+ab) , \, (**)}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (*), (**)

και μετά διαιρώντας δια

προκύπτει (χρησιμοποιώντας γνωστή ανισότητα $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ )

$\displaystyle{ \max \{ a^2, 2-bc \} +\max \{b^2,2-ac \}+\max \{c^2,2-ab \} \ge 3+ (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \ge 3, \, (***)}$

Παίρνοντας min αυτού ως προς όλα τα θετικά a,b,c

και επειδή το δεξί μέλος είναι σταθερό, έπεται αρχικά $Y\ge 3$ και μάλιστα έχουμε ισότητα γιατί παίρνουμε ισότητα στη (***)

αν θέσουμε a=b=c=1

.

β) Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η περίπτωση του

. Συνοπτικά, από τις

$\min \{ bc,2-a^2 \}\le bc$ και κυκλικά με πρόσθεση κατά μέλη, και κατόπιν από τις

$\min \{ bc,2-a^2 \}\le 2-a^2$ και κυκλικά με πρόσθεση κατά μέλη, παίρνουμε

$\min \{ bc,2-a^2 \} +\min \{ac, 2-b^2 \} + \min \{ab,2-c^2 \} \le bc+ca+ab$ και

$\min \{ bc,2-a^2 \} +\min \{ac, 2-b^2 \} + \min \{ab,2-c^2 \} \le 6-a^2-b^2-c^2$ και άρα, όπως πριν,

$\min \{ bc,2-a^2 \} +\min \{ac, 2-b^2 \} + \min \{ab,2-c^2 \} \le 3-(a^2+b^2+c^2- bc-ca-ab) \le 3$ με ισότητα αν a=b=c=1

,

από όπου παίρνοντας max αυτού ως προς όλα τα θετικά a,b,c

έπεται

. Και λοιπά.

#6

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2024 10:09 pm

Θέματα Μικρών (Junior Category):

Πρόβλημα 3: ́Εστω τρίγωνο με έκκεντρο και εγγεγραμμένο κύκλο $\omega$ . Έστω $\ell$ η εφαπτομένη στον $\omega$ που είναι παράλληλη στη και διαφορετική από τη . Έστω το σημείο τομής της $\ell$ και της , και ας είναι το μέσον του τμήματος $\overline{ID}$ . Να αποδειχθεί ότι $\angle AMD = \angle DBC$ .
(Weihua Wang)

Εξαιρετικά θέματα και διαγωνισμός υψηλού επιπέδου! Συγχαρητήρια στους εμπνευστές. Θα συνεχιστεί και φέτος;
Μία απάντηση στην Γεωμετρία των μικρών.
Αν είναι το μέσο της , τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Έτσι έχουμε:
$\angle{AMD}=\angle{AIM}+\angle{IAM}=\frac{B}{2}+\angle{MNI}=\angle{IBD}+\angle{IBC}=\angle{DBC}$

Επιτρέψτε μου να κάνω μία διόρθωση σε ένα γραμματικό λάθος που δυστυχώς επαναλαμβάνεται σε πολλές εκφωνήσεις ασκήσεων η σημειώσεων, ακόμα και σε έγκριτα συγγράμματα Γεωμετρίας η σε εκφωνήσεις σημαντικών διαγωνισμών όπως εδώ. Συγκεκριμένα η σωστή λέξη είναι ΕΓΚΕΝΤΡΟ (εν+κέντρο, incenter) και όχι ΕΚΚΕΝΤΡΟ (εκ+κέντρο, excenter). Θα δημιουργούσε βέβαια σύγχυση αν γράφαμε το παράκεντρο (excenter) ως έκκεντρο.

__________________________________________________________________________________________________________________________

EMC 2024

EMC 2024

Re: EMC 2024

Re: EMC 2024

Re: EMC 2024

Re: EMC 2024

Re: EMC 2024

Μέλη σε σύνδεση