Άσκηση - Σχέσεις Ισοδυναμίας

mixalismits · #1

Θεωρούμε το σύνολο

των σημείων της περιφέρειας κύκλου με κέντρο το (0,0) και ακτίνα r>0

ως το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών που ανήκουν σε μια διμελή στο $\mathbb{R}$ , η οποία ορίζεται ως εξής: $(x,y)\epsilon C$ αν και μόνον αν x^2 + y^2 = r^2

Θεωρούμε οτι η ακτίνα μεταβάλλεται $0<r<+\infty$ . Να οριστεί σχέση ισοδυναμίας $(\sim )$ στο $\mathbb{R}^2$ , τέτοια ώστε οι περιφέρειες του

και το μονοσύνολο $\left \{ \left ( 0,0 \right ) \right \}$ να παριστάνουν τις κλάσεις ισοδυναμίας ως προς $(\sim )$ .
Αν αντί για τη συνάρτηση $\varphi (x,y) = x^2 + y^2$ είχαμε τυχαία συνάρτηση $\varphi : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ θα μπορούσε να γενικευτεί η διαδικασία?
Πως θα παριστάνονταν τότε οι σχέσεις ισοδυναμίας ως προς $(\sim )$ ?

#2

mixalismits έγραψε:Θεωρούμε το σύνολο των σημείων της περιφέρειας κύκλου με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ως το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών που ανήκουν σε μια διμελή στο $\mathbb{R}$ , η οποία ορίζεται ως εξής: $(x,y)\epsilon C$ αν και μόνον αν

Θεωρούμε οτι η ακτίνα μεταβάλλεται $0<r<+\infty$ . Να οριστεί σχέση ισοδυναμίας $(\sim )$ στο $\mathbb{R}^2$ , τέτοια ώστε οι περιφέρειες του και το μονοσύνολο $\left \{ \left ( 0,0 \right ) \right \}$ να παριστάνουν τις κλάσεις ισοδυναμίας ως προς $(\sim )$ .
Αν αντί για τη συνάρτηση $\varphi (x,y) = x^2 + y^2$ είχαμε τυχαία συνάρτηση $\varphi : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ θα μπορούσε να γενικευτεί η διαδικασία?
Πως θα παριστάνονταν τότε οι σχέσεις ισοδυναμίας ως προς $(\sim )$ ?

Ας ξαναγράψουμε το παραπάνω ως εξής: Εξετάζω την $\varphi (x,y) = x^2 + y^2$ . Για κάθε $r\ge 0$ (παρατήρησε ότι έλαβα "μεγαλύτερο ή ίσο") τα σύνολα $C _r=\{(x,y) | x^2+y^2=r \}$ είναι διαμέριση του $\mathbb{R}^2$ και μάλιστα είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας της $(x,y) \sim (x',y') \Leftrightarrow x^2+y^2= x'^2+y'^2$ .

Ο λόγος που τα ξαναέγραψα είναι για να δούμε ότι γενικεύονται. Αυτά που ακολουθούν είναι νέα γραφή των ιδίων αλλά με γενική $\varphi : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ .

Ορίζουμε $(x,y) \sim (x',y') \Leftrightarrow \varphi (x, y)= \varphi (x', y')$ . H $\sim$ είναι σχέση ισοδυναμίας (άμεσο) και οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι τα $\varphi ^{-1} (r)$ , όπου

διατρέχει το σύνολο τιμών της $\varphi$ (και αυτό άμεσο).

Θα μπορούσα να τέλειωνα εκεί γιατί απάντησα το ζητούμενο. Σπεύδω όμως να προσθέσω και να τονίσω ότι αν τα δεις αυτά από μία ακόμη γενικότερη σκοπιά, το όλο θέμε είναι κάτι το προφανές. Συγκεκριμένα, για οποιαδήποτε μη κενό σύνολο

(παραπάνω ήταν το $\mathbb{R}^2$ ) και οποιαδήποτε διαμέριση $C_r , \, r \in \Lambda$ του

τότε μπορούμε να ορίσουμε μία σχέση ισοδυναμίας στο

όπου οι κλάσεις είναι τα $C_r, \, r \in \Lambda$ . Είναι η $a\sim b$ αν και μόνον αν τα a, b

ανήκουν στο ίδιο C_r

(αλλιώς το ίδιο: ανν υπάρχει $r \in \Lambda$ με $a, b \in C_r$ .

Όλα αυτά είναι σχεδόν αυτονόητα και είμαι βέβαιος ότι το βιβλίο που διαβάζεις έχει την μία ή την άλλη παραλλαγή της τελευταία παραγράφου που έγραψα.

mixalismits · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:Όλα αυτά είναι σχεδόν αυτονόητα και είμαι βέβαιος ότι το βιβλίο που διαβάζεις έχει την μία ή την άλλη παραλλαγή της τελευταία παραγράφου που έγραψα.

Αρχικά ευχαριστώ για το χρόνο που αφιερώσατε σε αυτή την (αρκετά απλή) άσκηση. Όσον αφορά τώρα τη βιβλιογραφία, ποια συγγράμματα θα προτείνατε? Προσωπικά διαβάζω από: (1) Λεγάτος - Άλγεβρα και στοιχεία από μαθηματική ανάλυση (2) Μαντάς - Μαθηματικά Ι (3) Στρατηγόπουλος - Σύγχρονη Άλγεβρα (4) Βάρσος, Δεριζιώτης (και άλλοι) - Μία εισαγωγή στην Άλγεβρα
Παρ' όλα αυτά,από τα παραπάνω, θεωρώ πως μόνο το (4) έχει αξία, καθώς τα (1,2) είναι απαρχαιωμένα ενώ το (3) κακογραμμένο.

#4

mixalismits έγραψε: Αρχικά ευχαριστώ για το χρόνο που αφιερώσατε σε αυτή την (αρκετά απλή) άσκηση. Όσον αφορά τώρα τη βιβλιογραφία, ποια συγγράμματα θα προτείνατε? Προσωπικά διαβάζω από: (1) Λεγάτος - Άλγεβρα και στοιχεία από μαθηματική ανάλυση (2) Μαντάς - Μαθηματικά Ι (3) Στρατηγόπουλος - Σύγχρονη Άλγεβρα (4) Βάρσος, Δεριζιώτης (και άλλοι) - Μία εισαγωγή στην Άλγεβρα
Παρ' όλα αυτά,από τα παραπάνω, θεωρώ πως μόνο το (4) έχει αξία, καθώς τα (1,2) είναι απαρχαιωμένα ενώ το (3) κακογραμμένο.

Δεν ξέρω όλα τα αναφερθέντα. Τα δύο που ξέρω είναι πολύ καλά βιβλία αλλά με διαφορετική οπτική και στόχους.

Το (2)

είναι παλιό Σχολικό/Φροντιστηριακό βιβλίο για Εισαγωγικές στο Πανεπιστήμιο, που άφησε εποχή, όπως άλλωστε όλα τα βιβλία του Ι. Μαντά. Σήμερα η ύλη είναι τελείως διαφορετική.
Αυτά που αναφέρω στο προηγούμενο ποστ θα τα βρεις προς το τέλος του βιβλίου, στην σελίδα

(προσοχή, το βιβλίο έχει δύο ανεξάρτητες αριθμήσεις σελίδων, που αρχίζουν από το

. Εννοώ την δεύτερη φορά που συναντάς την σελίδα

.)

Το (4) χρησιμοποιείται ευρέως στο Μαθηματικό Αθηνών και μπορείς να το κατεβάσεις δωρεάν και νόμιμα από το ιντερνέτ. Τώρα θα βρεις την β' έκδοση, όπου αυτό που ανέφερα είναι στην παράγραφο 1.4

, σελίδες

. Θα τα βρεις όμως ακόμα καλύτερα στην α' έκδοση (2003)

του ίδιου βιβλίου στην Παράγραφο 1.3

. Ελπίζω να την βρεις. Ίσως η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου σε βοηθήσει. Συμπληρώνω ότι η β' έκδοση είναι μεν πλουσιότερη, αλλά στο συγκεκριμένο θέμα η α' έκδοση έχει λίγο αλλοιώτικη σκοπιά, πιο κοντά στα παραπάνω που γράφω.

Άσκηση - Σχέσεις Ισοδυναμίας

Άσκηση - Σχέσεις Ισοδυναμίας

Re: Άσκηση - Σχέσεις Ισοδυναμίας

Re: Άσκηση - Σχέσεις Ισοδυναμίας

Re: Άσκηση - Σχέσεις Ισοδυναμίας

Μέλη σε σύνδεση