Θεώρημα Rolle και Ακρότατο

[Nikolas Kolovos]

Στόχος
1. Θα αποδείξουμε ότι: όταν το σημείο μηδενισμού της παραγώγου προκύπτει από την χρήση του
θεωρήματος Rolle αυτο αποτελεί πάντα τοπικό ή ολικό ακρότατο της συνάρτησης.

Απόδειξη του παραπάνω ισχυρισμού :
α)Αλγεβρική απόδειξη :
Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος RolleστοΔ.Άρα∃ a,bμεa=Xo-δκαιb=Xo-δκαιδ->0 τ.ω.f(a)=f(b).
Απο το θεώρημα Rolle: ∃ Χο τ.ω. f’(Xo)= 0
To f(Xo) αποτελεί ακρότατο εαν εκατέρωθεν αυτού η f’(x) αλλάζει πρόσημο.
‘Εστω οτι η f’(x) διατηρεί πρόσημο κοντά στο Χο τότε έχουμε :
a <b => f(a) < f(b) ή a<b => f(a)>f(b) άτοποαφούf(a)=f(b)
Άρα: f(Xo) ακρότατο.

Γενικεύοντας :
Κάθε παραγωγίσιμη και μη αντιστρέψιμη συνάρτηση παρουσιάζει τουλάχιστον ένα σημείο τοπικού ή
ολικού ακροτάτου.
Υποσημείωση : θέτωντας τα a,b συναρτήση του δ προσπαθούμε να προσεγγίσουμε Χο.

https://docs.google.com/document/d/e/2P ... t2spFB/pub

[Mihalis_Lambrou]

Στόχος
1. Θα αποδείξουμε ότι: όταν το σημείο μηδενισμού της παραγώγου προκύπτει από την χρήση του
θεωρήματος Rolle αυτο αποτελεί πάντα τοπικό ή ολικό ακρότατο της συνάρτησης.

Kαλώς ήλθες στο φόρουμ.

Βλέπω τουλάχιστον δύο ΣΟΒΑΡΑ σφάλματα στην απόδειξή σου. Για να μην μπαίνω σε λεπτομέρειες δίνω παράδειγμα που δείχνει ότι ο ισχυρισμός σου είναι εσφαλμένος (δηλαδή, δεν σώζεται ούτε με κάποια βελτίωση της απόδειξης).

Αν πάρουμε την συνάρτηση για και , τότε εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle και μάλιστα ισχύει , πλην όμως η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ούτε τοπικό ούτε ολικό ακρότατο στο . Και αυτό γιατί εκατέρωθεν του , όσο κοντά και αν πάμε, πάντα υπάρχουν τιμές της που είναι μεγαλύτερες και άλλες που είναι μικρότερες από το . Το σχήμα τα λέει όλα (αλλά τεκμηριώνεται και με καθαρά Μαθηματικά).

[Christos.N]

Αντιπαρέρχομαι το αντιαισθητικό της μαθηματικής γραφής της παραπάνω δημοσίευσης και έχω να προσθέσω ότι η συνάρτηση



ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle


έχει γραφική παράσταση

Στιγμιότυπο από 2022-06-17 19-33-59.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 3015 φορές

ισχύει η πρόταση;

Υ.Γ. Έγραψα παράλληλα...

[Nikolas Kolovos]

Γεια σας, ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

Αρχικά δεν έχω καταλάβει στην απάντηση του κυριου Mihalis_Lambrou σε ποιο διάστημα εφαρμόζει το θεώρημα Rolle (αν μπορείτε εξηγήστε μου) υποθέτω ότι το κάνετε πολύ κοντά στο μηδέν, όμως εκεί η συνάρτηση δεν ορίζεται.

Το γράφημα της απάντησης του κυρίου Christos.N επιβεβαιωνει τον ισχυρισμο καθως δείχνει συναρτηση για την οποια ισχυει το Rolle και παρουσιαζει ολ ελαχιστο. Οπως εχω αναφερει στο pdf το Rolle δειχνει υπαρξη τουλαχιστον 1 ακροτατου και οχι οτι καθε σημειο μηδενισμου της παραγωγου σε διαστημα που ισχυει το ρολ ειναι ακροτατο

[Christos.N]

Στόχος
1. Θα αποδείξουμε ότι: όταν το σημείο μηδενισμού της παραγώγου προκύπτει από την χρήση του
θεωρήματος Rolle αυτο αποτελεί πάντα τοπικό ή ολικό ακρότατο της συνάρτησης.

Αν το παραπάνω εκφράζει το

Οπως εχω αναφερει στο pdf το Rolle δειχνει υπαρξη τουλαχιστον 1 ακροτατου και οχι οτι καθε σημειο μηδενισμου της παραγωγου σε διαστημα που ισχυει το ρολ ειναι ακροτατο

Τότε σας ζητώ συγνώμη .

[Nikolas Kolovos]

Ορίζοντας το δ προσπαθούμε να προσεγγίσουμε δεξιά και αριστερά το Χο που υπολογίζει το rolle
Στο δικό σας γράφημα έχουμε 2 μηδενισμους της παραγωγού, ο ένας προκύπτει από το Rolle και επιβεβαιώνει τον ισχυρισμό
ενώ κοντά στην περιοχή του δεύτερου μηδενισμού όπου η συνάρτηση έχει μορφή της χ^3 δεν ορίζεται το ρολ αφού η συνάρτηση είναι 1-1.

[Mihalis_Lambrou]

Αρχικά δεν έχω καταλάβει στην απάντηση του κυριου Mihalis_Lambrou σε ποιο διάστημα εφαρμόζει το θεώρημα Rolle (αν μπορείτε εξηγήστε μου) υποθέτω ότι το κάνετε πολύ κοντά στο μηδέν, όμως εκεί η συνάρτηση δεν ορίζεται.

Αν πάρεις οποιοδήποτε σημείο αριστερά του όπου η συνάρτηση κόβει τον άξονα των (τέτοια είναι το , το , το αλλά και άπειρα άλλα τα οποία είναι ξεκάθαρο από το σχήμα ότι υπάρχουν) και όμοια για το αλλά στα δεξιά του , τότε ειναι . To Rolle εφαρμόζεται στο . Άλλωστε μας κάνουν και οποιαδήποτε άλλα με . Προφανές και μου κάνει εντύπωση που ρωτάς αφού όχι μόνο το σχήμα σου τα δείχει, αλλά είναι άπειρα τέτοια ζεύγη αφού η συνάρτηση σκαμπανεβάζεται συνεχώς.

Και κάτι ακόμη, η έκφραση ότι το κάνω "πολύ κοντά στο μηδέν" δεν έχει νόημα. Αυτό είναι, ας το πούμε λεπτομέρεια. Εκείνο που κάνει έκπληξη είναι η δήλωσή σου ότι εκεί "η συνάρτηση δεν ορίζεται". ΈΛΕΟΣ. Δεν είδες τον ορισμό που σου έγραψα;

[exdx]

ΕΔΩ και στην παραπομπή της.

Καλό διάβασμα

[Nikolas Kolovos]

Αγαπητέ Mihalis_Lambrou απο το γράφημα της συναρτησης που στείλατε βλέπουμε ότι από το -0.04 έως το 0.04 μπορούμε να εφαρμόσουμε Rolle άπειρες φορές και παρατηρούμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει άπειρα τοπικά ακροτατα.. όπως ανέφερα και πριν το rolle μας πιστοποιει την υπαρξη ενος ακροτατου.... γιατι να μας ενδιαφερει τι συμβαινει στο μηδεν?. Η απαντηση σας είναι παρομοια με του κυριου Christos.N οπου εκανε την παρανοηση να θεωρησει οτι καθε μηδενισμος ειναι απαραιτητα και ακροτατο.

[Nikolas Kolovos]

Επίσης όταν μπορέσετε θέλω να μου στείλετε τα δύο ΣΟΒΑΡΑ σφάλματα στην απόδειξή μου. Καθώς από το συγκεκριμένο γράφημα προσωπικά δεν αντιλαμβάνομαι τι συμβαίνει πολύ κοντά στο μηδέν. Ευχαριστώ πολύ

[Thanasis Rigas]

Όσον αφορά την απάντηση του κ. Μιχάλη, έστω ότι εφαρμόζουμε Rolle στο διάστημα [-1\π , 1\π], τα άκρα του οποίου αποτελούν σημεία μηδενισμού της f εκατέρωθεν του 0. Το 0 κι αυτό αποτελεί σημείο μηδενισμού της f. Συνεπώς, ανάμεσα στο -1\π και στο 0 (ή αντίστοιχα στο 0 και στο 1\π) η συνάρτηση θα αλλάζει μονοτονία, εφόσον δεν είναι σταθερή, άρα θα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Άρα ο ισχυρισμός του Νικόλα θα ισχύει, αφού σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση θα παρουσιάζει τουλάχιστον ένα ακρότατο.

[Mihalis_Lambrou]

Δεν θα μπω σε ατέρμονα συζήτηση γιατί το θέμα είναι ΠΑΡΑ πολύ απλό αλλά διακρίνω μία δυστοκία στην κατανόησή του (για παράδειγμα δεν έχεις κατανοήσει ότι η συνάρτηση ορίζεται παντού, ότι έχει πολλαπλά διαστήματα όπου εφαρμόζεται το Rolle, και λοιπά). Θα αρκεστώ στο ότι ο ισχυρισμός σου λέει, αντιγράφω:

Θα αποδείξουμε ότι: όταν το σημείο μηδενισμού της παραγώγου προκύπτει από την χρήση του
θεωρήματος Rolle αυτο αποτελεί πάντα τοπικό ή ολικό ακρότατο της συνάρτησης.

Πλην όμως σου έδειξα με παράδειγμα ότι στο η παράγωγος μηδενίζεται ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ τοπικό ή ολικό ακρότατο.

Τι χρείαν έχουν όλα τα υπόλοιπα; Να υποδείξω τα λάθη; Μα αφού το αποτέλεσμα είναι εσφαλμένο, η απάντηση είναι αποστομωτική. Τα λόγια περιττεύουν.

Για μένα το θέμα κλείνει. Λυπάμαι αλλά για να συμμετάσχω σε συζήτηση σε επιστημονικό θέμα απαιτώ ένα ελάχιστο σημείο αφετηρίας.

[Mihalis_Lambrou]

Συνεπώς, ανάμεσα στο -1\π και στο 0 (ή αντίστοιχα στο 0 και στο 1\π) η συνάρτηση θα αλλάζει μονοτονία, εφόσον δεν είναι σταθερή, άρα θα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.

ΕΛΕΟΣ. Η συνάρτηση ΔΕΝ ΑΛΛΑΖΕΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. Αυτό ακριβώς είναι ένα από τα δύο ΣΟΒΑΡΑ σφάλματα που αναφέρθηκα. Η συνάρτηση σκαμπανεβάζεται συνεχώς και δεν υπάρχει διάστημα γύρω από το μηδέν όπου είναι μονότονη. Το σχήμα το δείχνει καθαρά (αλλά το βλέπει κανείς αυστηρά κοιτώντας τα όπου η συνάρτηση είναι διαδοχικά θετική και αρνητική.

Όπως απάντησα και στον Nikolas Kolovos, δεν θα μπω σε ατέρμονα συζήτηση αν δεν υπάρχει κάποιο μαθηματικό υπόβαθρο.

Τώρα, γιατί υποπτεύομαι ότι ο Thanasis Rigas, συνήγορος του Nikolas Kolovos, και ο ίδιος είναι ένα και το αυτό άτομο; Και ώ του θαύματος ο Thanasia Rigas έκανε εγγραφή στο φόρουμ πριν από λίγο, όσο έτρεχε η συζήτηση, και ω του θαύματος κάνουν και οι δύο ακριβώς το ίδιο σοβαρό Μαθηματικό σφάλμα στον συλλογισμό τους.

[Nikolas Kolovos]

Κύριε margk έχετε δίκαιο θα πρέπει να προσθέσω στο pdf οτι αναφερόμαστε μόνο σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων γιατί αλλιώς προκύπτουν προβλήματα όπως αυτό που προαναφέρατε. Ευχαριστώ πολύ

[Nikolas Kolovos]

Mihalis_Lambrou ο θανάσης είναι συμμαθητής μου στη 3η λυκείου, μαζί γράψαμε τον παραπάνω ισχυρισμό για αυτό και άλλωστε συμμετέχει στη κουβέντα (βρίσκω πολύ αστείο το ότι πρέπει να το αναφέρω όλο αυτό). Αν μπορούσατε μιας και ο σκοπός του φόρουμ είναι να παραθέτονται απορίες μαθητών, όπως εγώ και ο Θανάσης, να μας εξηγήσετε χωρίς κοσμητικά επίθετα που βρίσκεται το λάθος ή εάν δεν έχετε την υπομονή μην απαντάται καθόλου, θα το κάνει κάποιος άλλος.

Εύχομαι μόνο υγεία

[Mihalis_Lambrou]

Mihalis_Lambrou ο θανάσης είναι συμμαθητής μου στη 3η λυκείου, μαζί γράψαμε τον παραπάνω ισχυρισμό για αυτό και άλλωστε συμμετέχει στη κουβέντα

Σωστά λοιπόν υποπτεύθηκα ότι οι δύο σας είστε ταυτόσημοι. Απλά είσασταν δύο εξ αρχής, την μία μίλησε ο ένας και την άλλη ο άλλος, οπότε η ουσία αυτού που γράφω παραμένει.

Αν μπορούσατε μιας και ο σκοπός του φόρουμ είναι να παραθέτονται απορίες μαθητών

Σωστά, το φόρουμ πρέπει να βοηθά και το κάνει πάντα. Όμως εδώ το αρχικό σου ποστ δεν ήταν απορία μαθητών, όπως λες, αλλά κατάθεση θεωρήματος. Και παρόλο που όλοι σου είπαν ότι είναι εσφαλμένο (που δεν είναι μεμπτό) επέμεινες ξανά και ξανά, χωρίς να θέλεις να ακούσεις αυτό που σου γράφουμε. Τα παραδείγματα που σου δώσαμε ήταν πολύ απλά, ακόμα και εικόνα. Από εκεί και πέρα τι άλλο θα μπορούσαμε να κάνουμε. Πόσες φορές πρέπει να επαναλάβουμε ότι το αποτέλεσμα είναι εσφαλμένο.

Και ένα τελευταίο γιατί μίλησα για ανάγκη υποβάθρου για συζήτηση. Ας δούμε αυτό. Γράφεις

"Κάθε παραγωγίσιμη και μη αντιστρέψιμη συνάρτηση παρουσιάζει τουλάχιστον ένα σημείο τοπικού ή ολικού ακροτάτου. "

Σωστό αλλά πολύ περισσότερο: ΚΑΘΕ συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα, παραγωγίσιμη ή όχι, αντιστρέψιμη ή όχι, παρουσιάζει ολικό ακρότατο (και μάλιστα τουλάχιστον δύο, το ένα είναι ολικό μέγιστο και το άλλο ολικό ελάχιστο). Πρόκειται για Θεώρημα που υπάρχει σε ΟΛΑ τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού, το λέει και το βιβλίο σου (αλλά δεν παραθέτει απόδειξη γιατί ξεφεύγει από τα Σχολικά). Είναι στο σημείο που λέει ότι οι συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστά διαστήματα λαμβάνουν την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή τους. Οπότε τα συμπεράσματά σας είναι είτε γνωστά (αλλά υπάρχουν πολύ ισχυρότερα που είναι ευρέως γνωστά) είτε εσφαλμένα. Να λοιπόν γιατί μίλησα για ανάγκη υποβάθρου για περεταίρω συζήτηση.

Όπως και να είναι, καλά κάνεις να ασχολείσαι. Συγχαρητήρια. Αλλά να μην παρεξηγείς όταν κάνουμε σοβαρή προσπάθεια να σε κατατοπίσουμε πλην όμως δεν μας διευκολύνεις όταν σου υποδεικνύουμε τα λάθη.

[Λάμπρος Κατσάπας]

Στόχος
1. Θα αποδείξουμε ότι: όταν το σημείο μηδενισμού της παραγώγου προκύπτει από την χρήση του
θεωρήματος Rolle αυτο αποτελεί πάντα τοπικό ή ολικό ακρότατο της συνάρτησης.

Απόδειξη του παραπάνω ισχυρισμού :
α)Αλγεβρική απόδειξη :
Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος RolleστοΔ.Άρα∃ a,bμεa=Xo-δκαιb=Xo-δκαιδ->0 τ.ω.f(a)=f(b).
Απο το θεώρημα Rolle: ∃ Χο τ.ω. f’(Xo)= 0
To f(Xo) αποτελεί ακρότατο εαν εκατέρωθεν αυτού η f’(x) αλλάζει πρόσημο.
‘Εστω οτι η f’(x) διατηρεί πρόσημο κοντά στο Χο τότε έχουμε :
a <b => f(a) < f(b) ή a<b => f(a)>f(b) άτοποαφούf(a)=f(b)
Άρα: f(Xo) ακρότατο.

Γενικεύοντας :
Κάθε παραγωγίσιμη και μη αντιστρέψιμη συνάρτηση παρουσιάζει τουλάχιστον ένα σημείο τοπικού ή
ολικού ακροτάτου.
Υποσημείωση : θέτωντας τα a,b συναρτήση του δ προσπαθούμε να προσεγγίσουμε Χο.

https://docs.google.com/document/d/e/2P ... t2spFB/pub

Το ότι το σημείο μηδενισμού της παραγώγου που μας δίνει το θεώρημα Rolle είναι σημείο τοπικού ακροτάτου της στο είναι γεγονός. Δεν έχεις παρά να διαβάσεις την απόδειξη του εν λόγω θεωρήματος.

Η ''απόδειξη'' που παρουσιάζεις δεν είναι απόδειξη αφού περιέχει πολλές ασάφειες και λάθη.

[Thanasis Rigas]

Κ. Λάμπρο ευχαριστούμε για την απάντηση σας. Παρακαλώ να μας παραπέμψετε στη σωστή απόδειξη και να επισημάνετε τα λάθη μας.

[Mihalis_Lambrou]

Κ. Λάμπρο ευχαριστούμε για την απάντηση σας. Παρακαλώ να μας παραπέμψετε στη σωστή απόδειξη και να επισημάνετε τα λάθη μας.

Θα κάνω άλλη μία προσπάθεια παρόλες τις πολλές που έχω ήδη κάνει.

Θα επαναλάβω κάτι που έγραψα στο ποστ 2: Συγκεκριμένα, το αποτέλεσμα είναι εσφαλμένο, όπως δείχνει το παράδειγμα, οπότε δεν υπάρχει σωστή απόδειξη. Τι περισσότερο θέλεις από αυτό:

... Για να μην μπαίνω σε λεπτομέρειες δίνω παράδειγμα που δείχνει ότι ο ισχυρισμός σου είναι εσφαλμένος (δηλαδή, δεν σώζεται ούτε με κάποια βελτίωση της απόδειξης).

Προσπάθησε να καταλάβεις τι λέει το παράδειγμα που έδωσα. Π.χ. θα δεις ότι στο ΔΕΝ ΑΛΗΘΕΥΕΙ ότι αλλάζει η μονοτονία, όπως ισχυρίζεται η απόδειξη (ίσον, το ένα από τα σοβαρά λάθη).

[Λάμπρος Κατσάπας]

Κ. Λάμπρο ευχαριστούμε για την απάντηση σας. Παρακαλώ να μας παραπέμψετε στη σωστή απόδειξη και να επισημάνετε τα λάθη μας.

Η απόδειξη: http://mathcenter.oxford.emory.edu/site ... %B2(c)%3D0.

Απόδειξη του παραπάνω ισχυρισμού :
α)Αλγεβρική απόδειξη :
Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος RolleστοΔ.Άρα∃ a,bμεa=Xo-δκαιb=Xo-δκαιδ->0 τ.ω.f(a)=f(b).

Το σωστό: Έστω συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο To ''Άρα∃ a,bμεa=Xo-δκαιb=Xo-δκαιδ->0'' δεν βγάζει απλά νόημα άσε που έχεις πάρει

Απο το θεώρημα Rolle: ∃ Χο τ.ω. f’(Xo)= 0
To f(Xo) αποτελεί ακρότατο εαν εκατέρωθεν αυτού η f’(x) αλλάζει πρόσημο.

Εννοείς ότι υπάρχει αρκούντως μικρό τέτοιο, ώστε στο και

στο ή ανάποδα. Αν συμβαίνει αυτό τότε αυτή η περίπτωση είναι εντάξει.

‘Εστω οτι η f’(x) διατηρεί πρόσημο κοντά στο Χο τότε έχουμε :
a <b => f(a) < f(b) ή a<b => f(a)>f(b) άτοποαφούf(a)=f(b)

Το σωστό: ‘Εστω ότι η διατηρεί πρόσημο κοντά στο δηλαδή μπορούμε να βρούμε αρκετά μικρό

τέτοιο, ώστε στο και στο ή ανάποδα.

Αυτό αποδεικνύει ότι η είναι γνησίως μονότονη στο και βεβαίως δεν αποδεικνύει ότι

όπως αναφέρεις.

Είναι μόνο αυτές οι περιπτώσεις που πρέπει να κοιτάξεις;