Πρόβλημα Γραμμικής Άλγεβρας

abfx · #1

Έστω

μιγαδικοί $n\times n$ πίνακες τέτοιοι ώστε ο I_n+A

να είναι αντιστρέψιμος και AB+A=B^2+B

.

Έστω επίσης

η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής $\lambda =-1$ στο φάσμα του

.

Να δειχθεί ότι $\text{rank}(A-B)=k$ .

abfx · #2

Επαναφορά.

Ορέστης Λιγνός · #3

abfx έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 07, 2025 3:17 pm
Έστω μιγαδικοί $n\times n$ πίνακες τέτοιοι ώστε ο να είναι αντιστρέψιμος και .

Έστω επίσης η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής $\lambda =-1$ στο φάσμα του .

Να δειχθεί ότι $\text{rank}(A-B)=k$ .

Θέτουμε

και

. Τότε,

$\displaystyle XY=(A+I_n)(B+I_n)=AB+A+B+I_n=(B+I_n)^2=Y^2.$

Ισοδύναμα (X-Y)Y=0

. Tο $\lambda=-1$ είναι ιδιοτιμή του

με πολλαπλότητα

αν και μόνο αν το $\lambda'=0$ είναι ιδιοτιμή του Y=B+I_n

με την ίδια πολλαπλότητα, κι επιπλέον η διάσταση του γενικευμένου ιδιοχώρου της ιδιοτιμής

(που ισούται με

και είναι η αλγεβρική πολλαπλότητα) είναι ίση με την διάσταση του ιδιοχώρου της ιδιοτιμής αυτής (που ισούται με $\text{dimker}(Y)$ και είναι η γεωμετρική πολλαπλότητα), καθώς αν για κάποιο διάνυσμα

και θετικό ακέραιο

είναι

, τότε

$Y^n u =0 \Rightarrow XY^{n-1} u = 0 \Rightarrow Y^{n-1}u=0 \Rightarrow \ldots \Rightarrow Yu=0,$

όπου στην δεύτερη συνεπαγωγή χρησιμοποιήσαμε ότι ο πίνακας

είναι αντιστρέψιμος.

Συνδυάζοντας τα πιο πάνω, αρκεί να δείξουμε ότι $\text{rank} (X-Y) = \text{dimker} (Y)$ . Θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής γνωστές ανισότητες:

(α) $\text{rank}(PQ) \geq \text{rank}(P) +\text{rank} (Q)-n$ (ανισότητα Sylvester).
(β) $\text{rank} ( P) + \text{rank} (Q) \geq \text{rank}(P+Q)$ .

Είναι, λοιπόν:

$0= \text{rank}(O_n)=\text{rank} ((X-Y)Y) \geq \text{rank} (X-Y)+\text{rank} (Y) - n \geq \text{rank}(X)-n=0,$

άρα πρέπει να ισχύει η ισότητα. Συνεπώς, $\text{rank} (X-Y)+\text{rank} (Y) - n=0$ , που δίνει ότι $\text{rank}(X-Y)=n-\text{rank}(Y)=\text{dimker}(Y)$ , όπως θέλαμε.

Πρόβλημα Γραμμικής Άλγεβρας

Πρόβλημα Γραμμικής Άλγεβρας

Re: Πρόβλημα Γραμμικής Άλγεβρας

Re: Πρόβλημα Γραμμικής Άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση