IMC 2018/2/1

#1

Έστω θετικός ακέραιος

. Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος

για τον οποίο υπάρχουν

μη μηδενικά διανύσματα $v_1,v_2,\ldots,v_k$ στο $\mathbb{R}^n$ ώστε για κάθε i,j

με

τα διανύσματα v_i

να

είναι κάθετα.

Nick1990 · #2

Ας δούμε και αυτό:

Αν έχουμε τα

διανύσματα σε μια σειρά, τότε είτε στις άρτιες είτε στις περιττές θέσεις υπάρχουν $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$ από αυτά που θα είναι ανα 2 κάθετα, άρα γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε ο χώρος τους πρέπει να έχει διάσταση τουλάχιστον $\lceil{\frac{k}{2}\rceil}$ .

Ο $\mathbb{R}^{n}$ με $n = \lceil{\frac{k}{2}\rceil}$ δουλεύει, διότι παίρνουμε μια ορθοκανονική βάση u_1, u_2, ..., u_n

και τα βάζουμε στη σειρά:
$u_1, u_1, u_2, u_2, ..., u_{n-1}, u_n, u_n$ . Αν ο

είναι άρτιος και έχουμε k = 2n

, τότε αυτά είναι τα v_1, ..., v_k

, διότι εύκολα έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Αν ο

είναι περιττός και έχουμε k = 2n - 1

, απλά πετάμε το τελευταίο u_n

και έχουμε πάλι τα ζητούμενα διανύσματα.

#3

Αμέλησα να το γράψω αλλά μια γενίκευση του πιο πάνω το Λήμμα 1 του κεφαλαίου 10 στο βιβλίο "Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability" του Bollobás.

Μπορείτε να δείτε το Λήμμα 1 εδώ:

https://books.google.cz/books?id=psqFNl ... ed&f=false

Έχω κάποιο πρόβλημα με τον σύνδεσμο. Επιλέξτε την σελίδα 71. Θα προσπαθήσω να το φτιάξω όταν επιστρέψω Κύπρο μιας και τώρα γράφω από το αεροδρόμιο της Πράγας.

Το λήμμα δείχνει επίσης ότι πέραν κάποιων προφανών τροποποιήσεων το παράδειγμα του Νίκου είναι μοναδικό.

IMC 2018/2/1

IMC 2018/2/1

Re: IMC 2018/2/1

Re: IMC 2018/2/1

Μέλη σε σύνδεση