IMC 2007/2/5

#1

Δίνεται θετικός ακέραιος

. Να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος n_k

ώστε να υπάρχουν $n_k \times n_k$ πραγματικοί πίνακες $A_1,\ldots,A_k$ οι οποίοι να ικανοποιούν τις πιο κάτω συνθήκες:

(1) $\displaystyle{ A_1^2 = \cdots = A_k^2 = 0}$

(2) A_iA_j = A_jA_i

για κάθε $1 \leqslant i,j \leqslant k$

(3) $A_1 A_2 \cdots A_k \neq 0$

dement · #2

Θα αποδείξουμε ότι n_k = 2^k

.

Για την ύπαρξη, έστω βάση του $\mathbb{R}^{2^k}$ της οποίας τα στοιχεία αναπαριστούμε με

-ψήφιους δυαδικούς αριθμούς. Αν το στοιχείο

έχει το

-οστό ψηφίο

, τότε το

αντιστοιχεί στο ίδιο στοιχείο με το

-οστό ψηφίο

. Αλλιώς

. Οι ζητούμενες ιδιότητες των πινάκων τώρα έπονται στοιχειωδώς (μεταθετικότητα, μηδενικό τετράγωνο). Το μη μηδενικό γινόμενο έπεται από το γεγονός $A_1 \cdot \cdot \cdot A_k u \neq 0$ , όπου

το στοιχείο της βάσης με όλα τα ψηφία

.

Για το ελάχιστο, για κάθε $C \subseteq \{ A_1, ..., A_k \} = S$ ορίζουμε τον υπόχωρο $V_C \subseteq \mathbb{R}^{n_k}$ ως $V_C \equiv \left\{ \left( \prod_C A_i \right) u : u \in \mathbb{R}^{n_k} \right\}$ .

Παρατηρούμε ότι για κάθε $C \subseteq S$ θα πρέπει να υπάρχει διάνυσμα $v_c \in V_C$ που να μην ανήκει στον υπόχωρο που παράγεται από τα στοιχεία των $V_{A_m}, A_m \notin C$ . Aλλιώς, το γινόμενο των πινάκων του S-C

, λόγω μηδενικών τετραγώνων και μεταθετικότητας, μηδενίζει κάθε στοιχείο του V_C

και το συνολικό γινόμενο των πινάκων του

θα είναι μηδενικό. Tο σύνολο $\{v_c : C \subseteq S \}$ , πληθικότητας 2^k

, θα είναι εκ κατασκευής γραμμικώς ανεξάρτητο. Έτσι, $n_k \geqslant 2^k$ .

IMC 2007/2/5

IMC 2007/2/5

Re: IMC 2007/2/5

Μέλη σε σύνδεση