Putnam 2016/B3

[Demetres]

Έστω πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο ώστε για κάθε τρία σημεία του , το εμβαδόν του τριγώνου να είναι το πολύ .

Να δειχθεί πως υπάρχει τρίγωνο εμβαδού ώστε (μαζί με το εσωτερικό του) να περιέχει όλα τα σημεία του .

[harrisp]

Επιλέγουμε λοιπόν τα τρία σημεία του που να σχηματίζουν τριγωνο με το μέγιστο εμβαδόν. Αν τωρα φέρουμε τις παράλληλες απο τις κορυφές στις απέναντι πλευρές θα σχηματιστεί τριγωνο με τετραπλάσιο εμβαδόν απο το αρχικό. Θα αποδείξουμε οτι το τριγωνο που σχηματίστηκε περιέχει ολα τα σημεια του .

Ας πάρουμε την κορυφή του τριγώνου με το μέγιστο εμβαδόν. Αν φέρουμε την παράλληλη παρατηρούμε οτι απο την υποθεση μας δεν υπάρχουν σημεια του πέρα απο την παράλληλη αφου τότε θα σχηματιζόταν τριγωνο με μεγαλύτερο εμβαδόν άτοπο. Το ζητούμενο τωρα ειναι προφανές.

[silouan]

Περίεργο που μπήκε αυτό το πρόβλημα στο διαγωνισμό. Είναι πολύ γνωστό και κλασικό. Το έχει ο Engel στα παραδείγματα στο extremal principle.