Euler 2013/5

#1

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ οι οποίες ικανοποιούν την σχέση

$\displaystyle{ f(x) - 2013f\left( \frac{2x}{1-x^2}\right) = 89}$

για κάθε $x \neq -1,1$ .

dr.tasos · #2

έστω μια

που ικανοποιεί την δοσμένη συναρτησιακή τότε :

Βάζω όπου

το

και έτσι έχω

f(tanx)-2013f(tan(2x))=89

΄

εδώ θέτω h(x)=f(tanx)

(1)

έστω λοιπόν ένα σταθερό $x_{0} \in \mathbb{R}$

τότε έχω $h(\frac{x_{0}}{2})-h(x_{0})=89$
διαδοχικά βάζω στην (1) όπου

το $\frac{x_{0}}{2^n}$

έπειτα γράφω $h(\frac{x_{0}}{2^n})-2013h(\frac{x_{0}}{2^{n-1}})=89$

εδώ θεωρώ την $y_{n}=h(\frac{x_{0}}{2^{n-1}})$
τοτε θα ισχύει το εξής $y_{n+1}-2013y_{n}=89$

Βρίσκοντας τον γενικό όρο της ακολουθίας $y_{n}=y_{1}+\frac{2013^{n-1}-1}{2013-1}(y_{2}-y_{1})$

έστω $y_{1} \neq y_{2}$
άρα αφήνωντας το $n \to \infty$

$y_{n} \to \infty$ άτοπο γιατι $y_{n} \to h(0)$
λόγω συνέχειας οπότε

$y_{1}=y_{2}$

$y_{1}=-\frac{89}{2012}$

άρα $h(x_{0})=-\frac{89}{2012}$

αρα $f(tanx)=-\frac{89}{2012} \Rightarrow f(x)=-\frac{89}{2012}$

επαληθεύει οπότε τις η μοναδικη λύση ειναι η

$f(x)=-\frac{89}{2012}$

#3

Σωστά.

Να προσθέσω όμως ότι τα πιο πάνω ισχύουν μόνο για $x \neq -1,1$ . Για $x \in \{-1,1\}$ το αποτέλεσμα έπεται από την συνέχεια της

. Θα πρέπει βέβαια να πούμε και ότι η $\tan$ στο $(-\pi/2,\pi/2)$ είναι επί του $\mathbb{R}$ .

[Τα πιο πάνω λείπουν και από την επίσημη λύση οπότε δεν γνωρίζω πόσο σοβαρά λαμβάνονταν υπόψη.]

Euler 2013/5

Euler 2013/5

Re: Euler 2013/5

Re: Euler 2013/5

Μέλη σε σύνδεση