IMC 2014/1/1

#1

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (a,b)

για τους οποίους υπάρχει μοναδικός συμμετρικός $2 \times 2$ πίνακας

ώστε $\mathrm{tr}(M) = a$ και $\det(M) = b$ .

Zarifis · #2

Έστω $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ B&D \end{array}} \right)}$ Τότε $\displaystyle{a = A + D,b = AD - {B^2}}$ Άρα $\displaystyle{{D^2} - aD + {B^2} + b = 0}$
Θέτουμε μηδενική διακρίνουσα γιατί θέλουμε μοναδική λύση άρα $\displaystyle{{a^2} - 4{B^2} - 4b = 0,D = \frac{a}{2}}$ .Όμως $\displaystyle{{\rm A} = a - D = \frac{a}{2} = D}$ .
Tέλος $\displaystyle{{{\rm B}^2} = b + {(\frac{a}{2})^2}}$ .Για μη-Μηδενικό αποτέλεσμα πάντα έχουμε 2 λύσεις. Άρα $\displaystyle{b = - {(\frac{a}{2})^2}}$ .Τελικά $\displaystyle{(a, - {(\frac{a}{2})^2}),\alpha \in R }$
και οι πίνακες είναι $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha /2}&0\\ 0&{a/2} \end{array}} \right)}$

IMC 2014/1/1

IMC 2014/1/1

Re: IMC 2014/1/1

Μέλη σε σύνδεση