IMC 2014/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2014/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 31, 2014 5:28 pm

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (a,b) για τους οποίους υπάρχει μοναδικός συμμετρικός 2 \times 2 πίνακας M ώστε \mathrm{tr}(M) = a και \det(M) = b.


Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: IMC 2014/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Πέμ Ιούλ 31, 2014 9:58 pm

Έστω \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
A&B\\ 
B&D 
\end{array}} \right)} Τότε \displaystyle{a = A + D,b = AD - {B^2}} Άρα \displaystyle{{D^2} - aD + {B^2} + b = 0}
Θέτουμε μηδενική διακρίνουσα γιατί θέλουμε μοναδική λύση άρα \displaystyle{{a^2} - 4{B^2} - 4b = 0,D = \frac{a}{2}}.Όμως \displaystyle{{\rm A} = a - D = \frac{a}{2} = D}.
Tέλος \displaystyle{{{\rm B}^2} = b + {(\frac{a}{2})^2}} .Για μη-Μηδενικό αποτέλεσμα πάντα έχουμε 2 λύσεις. Άρα \displaystyle{b =  - {(\frac{a}{2})^2}}.Τελικά \displaystyle{(a, - {(\frac{a}{2})^2}),\alpha \in R }
και οι πίνακες είναι \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\alpha /2}&0\\ 
0&{a/2} 
\end{array}} \right)}


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης