Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου
Συντονιστής: Demetres
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου
Δίνεται το πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, όπου . Υποθέτουμε ότι το πολυώνυμο διαιρεί το για κάποιο θετικό ακέραιο . Να αποδείξετε ότι:
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου
Ενδιαφέρον πρόβλημα. Δίνω μια κατεύθυνση που πιστεύω μπορεί να οδηγήσει σε λύση και ένα φράγμα κοντά στο ζητούμενο σε hide.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Ανισότητα για συντελεστές πολυωνύμου
Η μέθοδος του Ηλία, πράγματι, οδηγεί στη λύση του προβλήματος.
Όπως έδειξε παραπάνω ο Ηλίας, για κάθε πολυώνυμο βαθμού το πολύ ισχύει η σχέση
(όπου θέτουμε ).
Θα εφαρμόσουμε την για το πολυώνυμο
όπου είναι το -στό πολυώνυμο Chebyshev, με:
, αν
και
αν .
Παρατηρούμε ότι, για είναι
,
ενώ
Χρησιμοποιώντας τώρα την ανισότητα
, για κάθε
το ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και το ότι
για κάθε ,
προκύπτει ότι:
.
Συνδυάζοντας τις σχέσεις , και , έχουμε ότι:
και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Όπως έδειξε παραπάνω ο Ηλίας, για κάθε πολυώνυμο βαθμού το πολύ ισχύει η σχέση
(όπου θέτουμε ).
Θα εφαρμόσουμε την για το πολυώνυμο
όπου είναι το -στό πολυώνυμο Chebyshev, με:
, αν
και
αν .
Παρατηρούμε ότι, για είναι
,
ενώ
Χρησιμοποιώντας τώρα την ανισότητα
, για κάθε
το ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και το ότι
για κάθε ,
προκύπτει ότι:
.
Συνδυάζοντας τις σχέσεις , και , έχουμε ότι:
και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες