Σύγκλιση σειράς

#1

Έστω

η ακολουθία Fibonacci. (Η οποία ξεκινάει με F_1=F_2=1

.) Να δειχθεί ότι η σειρά

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_nF_{n+2}} }$

συγκλίνει και να υπολογιστεί το άθροισμά της.

Επεξεργασία:

Πηγή: Από διαγωνισμό του Illinois για την επιλογή της ομάδας για τον Putnam. Δείτε εδώ.

Tolaso J Kos · #2

Demetres έγραψε:Έστω η ακολουθία Fibonacci. (Η οποία ξεκινάει με .) Να δειχθεί ότι η σειρά

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_nF_{n+2}} }$

συγκλίνει και να υπολογιστεί το άθροισμά της.

Γεια σου Δημήτρη,

πάω κατευθείαν στον υπολογισμό. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα τηλεσκοπεί διότι
$\displaystyle{\frac{1}{F_n F_{n+2}}=\frac{1}{F_{n+1}F_n} - \frac{1}{F_{n+1} F_{n+2}}}$ Κατά συνέπεια:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_n F_{n+2}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{F_{n+1}F_n} - \frac{1}{F_{n+1} F_{n+2}} \right ] \\ &= 1- \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{F_{n+1} F_{n+2}}\\ &= 1 \end{aligned}}$ Τη σύγκλιση την αφήνω για κάποιον άλλον.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Τόλη δεν άφησες τίποτα.
Το μόνο ίσως που άφησες είναι ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }F_{n}=\infty$
Χωρίς υπολογισμούς μπορούμε να το δούμε ως εξης:
$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$
Λόγω των αρχικών συνθηκών η ακολουθία είναι αύξουσα.
Αν δεν συνέκλινε στο $\infty$ θα συνέκλινε σε ένα x> 0

Παίρνοντας όρια στην αναδρομική σχέση εχουμε x=x+x

Δηλαδή

ΑΤΟΠΟ.

#4

Πολύ ωραία. Πρόσθεσα και την πηγή.

Σταύρο, ο Τόλης αστειευόταν. Γι' αυτό και η φατσούλα.

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση