Ιδιότητα σε συμπαγή μετρικό χώρο

nickthegreek · #1

Έστω

συμπαγής μετρικός χώρος, $\mathcal{B}$ η $\sigma$ -άλγεβρα του Borel. Έστω $T : X \to X$ συνεχής απεικόνιση και $\mu$ μέτρο τέτοιο ώστε $\mu(X) = 1$ και $\mu(T^{-1}(A)) = \mu(A)$ για κάθε $A \in \mathcal{B}$ . Να αποδειχθεί ότι για $\mu$ -σχεδόν όλα τα σημεία $x \in X$ υπάρχει ακολουθία φυσικών n_k

τέτοια ώστε $T^{n_k} x \to x$ .

nickthegreek · #2

Eπαναφορά.

Hint :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

nickthegreek · #3

Για να κλείσει το θέμα, βάζω μια απόδειξη που γνωρίζω:

Θα ονομάζουμε μια τετράδα $(X, \mathcal{B}, \mu, T)$ όπου $(X, \mathcal{B} , \mu)$ χώρος μέτρου και $T : Χ \to X$ μετρήσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε $\mu(T^{-1}A) =\mu(A)$ γα κάθε $A \in \mathcal{B}$ ένα measure-preserving σύστημα.

Λήμμα: Έστω $(X, \mathcal{B}, \mu, T)$ ένα measure-preserving σύστημα και έστω $A : \mu(A) > 0$ . Τότε $\mu (A - \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} T^{-m}A ) =0$ , δηλαδή σχεδόν κάθε σημείο του

έχει

τροχιά που επισκέπτεται το

άπειρες φορές (Aναδρομή Poincare).

Απόδειξη: Έστω A_0

το σύνολο των σημείων εντός του

που δεν επιστρέφουν ποτέ στο

. Έχουμε $A_0 \cap T^{-n}A_0 = \emptyset$ και άρα $\mu(A_0)=0$ (αυτό είναι μια απλή και όμορφη εφαρμογή της περιστεροφωλιάς!)

Επιπλέον $A \backslash \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} T^{-m}(A) \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} T^{-j}(A_0)$ και το ζητούμενο έπεται. $\square$

Ο

ως συμπαγής μετρικός χώρος είναι διαχωρίσιμος, άρα υπάρχει πυκνή αριθμήσιμη ακολουθία x_1,x_2,...

εντός του

. Για κάθε θετικό ακέραιο

, εφαρμόζουμε την αναδρομή του Poincare στις μπάλες $B(x_k , \frac{1}{n})$ . Συνολικά ο αριθμός αυτών των συνόλων είναι αριθμήσιμος και το ζητούμενο έπεται.

Φιλικά,
Νίκος

Ιδιότητα σε συμπαγή μετρικό χώρο

Ιδιότητα σε συμπαγή μετρικό χώρο

Re: Ιδιότητα σε συμπαγή μετρικό χώρο

Re: Ιδιότητα σε συμπαγή μετρικό χώρο

Μέλη σε σύνδεση