Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

ChrP · #1

1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες $A \in \mathbb{R}_{n\times m}$ και $B \in \mathbb{R}_{m\times n}$ με n > m

ώστε

$\newline$
2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας

με $Q^{-1}AQ=B$
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & & & \ddots &\ddots \\ \binom{n}{0} &\binom{n}{1} & \cdots & \binom{n}{n-1} & \binom{n}{n}\\ \end{pmatrix}$
$\newline$
$B=\begin{pmatrix} 1 &1 & 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ 0&1&1&0&\cdots & 0 \\ \vdots & \ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\ 0&\cdots &\ddots &1&1&0 \\ 0&\cdots &\cdots &0&1&1 \\ 0&\cdots &\cdots &\cdots&0&1 \\ \end{pmatrix}$
$\newline$
3)Έστω $f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1]$ μια συνεχής συνάρτηση και $n \geq 2$ Αν $\beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty$ και θέσουμε $\alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n}$ τότε για κάθε $\varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ με $\varphi(b) \geq \varphi(a) \forall b >a$ έχουμε $\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi(t)dt$
$\newline$
4)Έστω $f :\mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ συνεχής .Δείξε οτι η F(p)

είναι αύξουσα
$F(p)=\left(\frac{\int_\mathbb{R} |x|^pf(x)dx}{\int_{-1}^{1}|x|^pdx}\right)^{\frac{1}{p+1}}$
για $p \in(-1, ,\infty )$
$\newline$
5)Αν (a,m)=1

(μέγιστος κοίνος διαιρέτης ) δείξτε οτι
$\sum_{x=0 }^{ m-1}=\lfloor \frac{ax+b}{m}\rfloor=\frac{(a-1)(m-1)}{2}+b$

#2

ChrP έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm
5)Αν (μέγιστος κοίνος διαιρέτης ) δείξτε οτι
$\sum_{x=0 }^{ m-1}=\lfloor \frac{ax+b}{m}\rfloor=\frac{(a-1)(m-1)}{2}+b$

Ασφαλώς ο

πρέπει να είναι ακέραιος αλλιώς το ζητούμενο δεν ισχύει.

Η περίπτωση b=0

είναι γνωστή και την έχουμε σίγουρα δει στο

. Θα ψάξω να την βρω αλλιώς θα δώσω λύση. Για τη γενική περίπτωση ας γράψουμε b = qm + r

με $r \in \{0,1,\ldots,m-1\}$ .

Παρατηρούμε ότι τα $0,a,2a,\ldots,(m-1)a$ είναι όλα διαφορετικά modulo

. Άρα $\displaystyle \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor$ για ακριβώς m-r

τιμές του

(αυτές που τα $0,a,2a,\ldots,(m-1)a$ αφήνουν υπόλοιπα $0,1,\ldots,m-r-1$ ) και $\displaystyle \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{ax+r}{m} \right\rfloor + 1$ για ακριβώς

τιμές του

.

Άρα έχουμε

$\displaystyle \sum_{x=0 }^{ m-1} \left\lfloor \frac{ax+b}{m}\right\rfloor = \sum_{x=0 }^{ m-1}\left[\left\lfloor \frac{ax+r}{m}\right\rfloor +q\right] = qm + \sum_{x=0 }^{ m-1}\left\lfloor \frac{ax+r}{m}\right\rfloor = qm + r +\sum_{x=0 }^{ m-1}\left\lfloor \frac{ax}{m} \right\rfloor= \frac{(a-1)(m-1)}{2} + b$

ChrP · #3

ChrP έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm
1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες $A \in \mathbb{R}_{n\times m}$ και $B \in \mathbb{R}_{m\times n}$ με ώστε

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ChrP έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm

2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας με $Q^{-1}AQ=B$
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & & & \ddots &\ddots \\ \binom{n}{0} &\binom{n}{1} & \cdots & \binom{n}{n-1} & \binom{n}{n}\\ \end{pmatrix}$
$\newline$
$B=\begin{pmatrix} 1 &1 & 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ 0&1&1&0&\cdots & 0 \\ \vdots & \ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\ 0&\cdots &\ddots &1&1&0 \\ 0&\cdots &\cdots &0&1&1 \\ 0&\cdots &\cdots &\cdots&0&1 \\ \end{pmatrix}$
$\newline$

Ο

έχει μοναδική ιδιοτιμή το

.

Επίσης είναι άμεσο ότι rank(A-I)=n-1

Ετσι ο

είναι η κανονική μορφή Jordan του

και το ζητούμενο είναι άμεσο.

stamas1 · #5

Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?

ChrP · #6

stamas1 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm
Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?

Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .

stamas1 · #7

ChrP έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2020 8:08 pm

stamas1 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm
Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?
Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .

ακομα και οι πρωτοετεις?

ChrP · #8

stamas1 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2020 9:42 pm

ChrP έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2020 8:08 pm

stamas1 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm
Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?
Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .
ακομα και οι πρωτοετεις?

Ναι !

stamas1 · #9

Στο 3 μπορεί κάποιος να μου πει ποια είναι η ερώτηση; Στο 4 θα μπορούσε κάποιος να μου πει τι σημαίνει το ολοκλήρωμα με άκρο το R?

#10

stamas1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 12:39 am
Στο 3 μπορεί κάποιος να μου πει ποια είναι η ερώτηση; Στο 4 θα μπορούσε κάποιος να μου πει τι σημαίνει το ολοκλήρωμα με άκρο το R?

Στο 3 είναι "Να αποδειχθεί ότι, αν..., τότε έχουμε..."
Στο 4 το $\int_{\mathbb{R}}$ είναι $\int_{-\infty}^{+\infty}$ .

stamas1 · #11

καμια λυση στο 3 και 4?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

ChrP έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm

3)Έστω $f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1]$ μια συνεχής συνάρτηση και $n \geq 2$ Αν $\beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty$ και θέσουμε $\alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n}$ τότε για κάθε $\varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ με $\varphi(b) \geq \varphi(a) \forall b >a$ έχουμε $\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi(t)dt$
$\newline$

Η $\varphi$ είναι αύξουσα και

$\displaystyle \beta =\frac{a^{n}}{n}=\int_{0}^{a}t^{n-1}dt$

Εχουμε
$\displaystyle \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi (t)dt=\int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt+\varphi (a)\int_{0}^{a}t^{n-1}dt=$
$\displaystyle \int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt+\varphi (a)\beta$

Επειδή η $\varphi$ είναι αύξουσα έχουμε ότι

$\displaystyle \int_{a}^{\infty }\varphi (t)f(t)t^{n-1}dt\geq \int_{a}^{\infty }\varphi (a)f(t)t^{n-1}dt$

Αρκεί να δείξουμε ότι
$\displaystyle \varphi (a)\int_{0}^{a}t^{n-1}f (t)dt+\int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt\leq \int_{0}^{a}t^{n-1}f (t)\varphi (t)dt$
η ισοδύναμα

$\displaystyle \int_{0}^{a}t^{n-1}(\varphi (t)-\varphi (a))dt\leq \int_{0}^{a}t^{n-1}f (t)(\varphi (t)-\varphi (a))dt$
που ισχύει αφού

$\displaystyle 0\leq f(t)\leq 1,\varphi (t)-\varphi (a)\leq 0,0\leq t\leq a$

Γενικά η εκφώνηση έχει θέμα ως προς τους συμβολισμούς.

Θα έπρεπε κατα την γνώμη μου για να είναι σαφής να γραφεί:
Έστω $f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1]$ μια συνεχής συνάρτηση και $n \geq 2$
Αν $\beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty$ και θέσουμε
$\alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n}$
τότε για κάθε $\varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ αύξουσα
ισχύει
$\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{\alpha}t^{n-1}\varphi(t)dt$

Στο 4) νομίζω ότι δεν είναι σωστά διατυπωμένη η εκφώνηση.

ChrP · #13

ChrP έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2020 2:54 pm
1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες $A \in \mathbb{R}_{n\times m}$ και $B \in \mathbb{R}_{m\times n}$ με ώστε
$\newline$
2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας με $Q^{-1}AQ=B$
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & & & \ddots &\ddots \\ \binom{n}{0} &\binom{n}{1} & \cdots & \binom{n}{n-1} & \binom{n}{n}\\ \end{pmatrix}$
$\newline$
$B=\begin{pmatrix} 1 &1 & 0 &\cdots & \cdots & 0 \\ 0&1&1&0&\cdots & 0 \\ \vdots & \ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\ 0&\cdots &\ddots &1&1&0 \\ 0&\cdots &\cdots &0&1&1 \\ 0&\cdots &\cdots &\cdots&0&1 \\ \end{pmatrix}$
$\newline$
3)Έστω $f : \mathbb{R^+} \rightarrow [0,1]$ μια συνεχής συνάρτηση και $n \geq 2$ Αν $\beta = \int_{0}^{\infty}t^{n-1}f(t)dt < \infty$ και θέσουμε $\alpha=(n\beta)^{\frac{1}{n}$ τότε για κάθε $\varphi :\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ με $\varphi(b) \geq \varphi(a) \forall b >a$ έχουμε $\int_{0}^{\infty}t^{n-1}\varphi(t)f(t) dt \geq \int_{0}^{a}t^{n-1}\varphi(t)dt$
$\newline$
4)Έστω $f :\mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ συνεχής .Δείξε οτι η
$F(p)=\left(\frac{\int_\mathbb{R} |x|^pf(x)dx}{\int_{-1}^{1}|x|^pdx}\right)^{\frac{1}{p+1}}$ αύξουσα
για $p \in(-1, ,\infty )$
$\newline$
5)Αν (μέγιστος κοίνος διαιρέτης ) δείξτε οτι
$\sum_{x=0 }^{ m-1}=\lfloor \frac{ax+b}{m}\rfloor=\frac{(a-1)(m-1)}{2}+b$

Καλησπέρα διόρθωσα το 4 και το έγραψα ακριβώς όπως μας δόθηκε

Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Re: Θέματα επιλογής SEEMOUS 2020

Μέλη σε σύνδεση