Vojtech Jarnik 2018/2 Category II

#1

Έστω θετικός ακέραιος

και πραγματικοί αριθμοί $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$ ώστε

$\displaystyle a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 0$

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle a_1[x] + a_2[2x] + \cdots + a_n[nx] \geqslant 0$

για κάθε πραγματικό

, όπου με

δηλώνουμε τον μοναδικό ακέραιο

που ικανοποιεί την σχέση $m \leqslant t < m+1$ .

dement · #2

Παίρνουμε αρχικά την περίπτωση $x \geqslant 0$ . Προφανώς, αν $\lfloor nx \rfloor = 0$ , το ζητούμενο ισχύει. Θεωρούμε $\lfloor nx \rfloor > 0$ .

Χρησιμοποιούμε τη γνωστή έννοια της κυριαρχίας, σύμφωνα με την οποία, από δύο αύξουσες πεπερασμένες ακολουθίες

αριθμών

με $\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k = \sum_{k=1}^nd_k$ η (d_k)

κυριαρχεί επί της (c_k)

( $(d_k) \succ (c_k)$ ) αν και μόνο αν $\displaystyle \sum_{k=1}^p c_k \leqslant \sum_{k=1}^p d_k$ για κάθε $1 \leqslant p \leqslant n$ .

Αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή ότι για κάθε $a_1 \leqslant a_2 \leqslant ... \leqslant a_n$ και $(d_k) \succ (c_k)$ ισχύει $\displaystyle \sum_{k=1}^n d_k a_k \leqslant \sum_{k=1}^n c_k a_k$ .

Έτσι, με βάση το δεδομένο και το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι η $\displaystyle c_k \equiv \frac{ \lfloor kx \rfloor}{\sum_{i=1}^n \lfloor ix \rfloor}$ κυριαρχείται από την $\displaystyle d_k \equiv \frac{k}{\sum_{i=1}^n i}$ , δηλαδή ότι $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^p \lfloor ix \rfloor}{\sum_{i=1}^p i} \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n \lfloor ix \rfloor}{\sum_{i=1}^n i}$ για κάθε $1 \leqslant p \leqslant n$ .

Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι η $\displaystyle s_p \equiv \frac{\sum_{i=1}^p \lfloor ix \rfloor}{\sum_{i=1}^p i}$ είναι αύξουσα, δηλαδή $s_{n} \leqslant s_{n+1}$ .

Με λίγη άλγεβρα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle s_n \leqslant s_{n+1} \Leftrightarrow 2 \sum_{k=1}^n \lfloor kx \rfloor \leqslant n \lfloor (n+1) x \rfloor$ , που είναι άμεση συνέπεια της ιδιότητας $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor x + y \rfloor$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Παρατηρούμε ότι η αντίστοιχη ακολουθία με ceiling αντί για floor είναι φθίνουσα (από την ιδιότητα $\lceil x \rceil + \lceil y \rceil \geqslant \lceil x + y \rceil$ ) και έτσι $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \lceil kx \rceil \leqslant 0$ . Οπότε, για την περίπτωση x < 0

χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι $\lfloor kx \rfloor = - \lceil -kx \rceil$ και η ανισότητα μετατρέπεται στην $\displaystyle - \sum_{k=1}^n a_k \lceil k(-x) \rceil \geqslant 0$ που ισχύει.

Vojtech Jarnik 2018/2 Category II

Vojtech Jarnik 2018/2 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category II

Μέλη σε σύνδεση