Ανισότητα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω πραγματικοί $p_{i}\in[0,1]$ για κάθε i=1,2,...,n

. Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ e^{-m}-\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\leq me^{-m}\max p_{i} }$ όπου $m=\sum_{i=1}^{n}p_{i}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 03, 2017 10:39 pm
Έστω πραγματικοί $p_{i}\in[0,1]$ για κάθε . Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ e^{-m}-\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\leq me^{-m}\max p_{i} }$ όπου $m=\sum_{i=1}^{n}p_{i}$ .

Θα δείξουμε το ισχυρότερο.
Αν $-1\leq p_{i}\leq 1,i=1,2,...n$

τότε

$\exp(-\sum_{i=1}^{n}p_{i})-\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\leq \exp(-\sum_{i=1}^{n}p_{i})\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$

η ισοδύναμα

$\exp(\sum_{i=1}^{n}p_{i})\prod_{i=1}^{n}(1-p_{i})\geq 1-\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$

Για n=1

είναι η $\exp x\geq 1+x$
που ισχύει.

Επαγωγή στο

.

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι

$\exp(p_{n+1})(1-p_{n+1})\geq (1-p_{n+1}^{2})$

και

$(1-\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2})(1-p_{n+1}^{2})\geq 1-\sum_{i=1}^{n+1}p_{i}^{2}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση