Τυχαίο σημείο πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

S.E.Louridas · #2

Α

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 30, 2024 2:18 pm
Δίνεται τρίγωνο , ο περιγεγραμμένος του κύκλος και τυχαίο σημείο πάνω στο τόξο του κύκλου. Αν είναι οι αποστάσεις του από τις πλευρές , αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $\displaystyle\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ .

Επί του πιεστηριου:
Αν x=MD, y=ME, z=MF.

Τότε δημιουργείται η ευθεία Simson D F E.

Αρκεί τελικά να αποδείξουμε οτι $\displaystyle{\frac{za}{x}+\frac{zb}{y}=c.}$
Από εύκολες ομοιότητες των τριγώνων $tr.MFE\sim tr.MBC,$ και $tr.MFD\sim tr.MAC$ έχουμε:
$\displaystyle{\frac{z}{x}=\frac{MA}{MC}, \frac{z}{y}=\frac{MB}{MC}\Rightarrow}$ $\displaystyle{\frac{za}{x}=\frac{aMA}{MC}\;\;(1)\;, \frac{zb}{y}=\frac{bMb}{MC}\;\;(2).}$
Με πρόσθεση των (1), (2)

κατά μέλη και με βάση το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο AMBC

παίρνουμε το ζητούμενο.

: es.png (63.42 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 30, 2024 2:18 pm
Σχέση αποστάσεων.png

Δίνεται τρίγωνο , ο περιγεγραμμένος του κύκλος και τυχαίο σημείο πάνω στο τόξο του κύκλου. Αν είναι οι αποστάσεις του από τις πλευρές , αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $\displaystyle\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ .

Ελάχιστα διαφορετικά από τον Σωτήρη.

$\displaystyle \frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{c}{z} \Leftrightarrow \frac{{2Ra}}{{MB \cdot MC}} + \frac{{2Rb}}{{MA \cdot MC}} = \frac{{2Rc}}{{MA \cdot MB}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{1}{{MC}}\left( {\frac{{aMA + bMB}}{{MA \cdot MB}}} \right) = \frac{c}{{MA \cdot MB}} \Leftrightarrow aMA + bMB = cMC,$

που ισχύει από το θεώρημα Πτολεμαίου στο AMBC.

Τυχαίο σημείο πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου

Τυχαίο σημείο πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου

Re: Τυχαίο σημείο πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου

Re: Τυχαίο σημείο πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση