Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2022 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXXIII Μαθηματική Γιορτή - 27 Φεβρουαρίου 2022 6η τάξη


Πρόβλημα 1. Στην Τάνια και στον Βάνια δόθηκαν ίδια πολύγωνα από χαρτόνι. Η Τάνια έκοψε από το δικό της χαρτόνι ένα κομμάτι και της έμεινε ένα τετράγωνο. Ο Βάνιας έκοψε ακριβώς το ίδιο κομμάτι (και σε μορφή και σε μέγεθος) διαφορετικά και του έμεινε ένα τρίγωνο. Σχεδιάστε ένα παράδειγμα το πως θα μπορούσε αυτό να συμβεί. [4 μόρια] (Τ.Β. Καζίτσινα)


Πρόβλημα 2. Τρία βατράχια σε μια λίμνη έκανα με την σειρά άλματα. Το καθένα προσγειώθηκε ακριβώς στο μέσο του τμήματος που ορίζουν τα άλλα δυο. Το μήκος του άλματος του δεύτερου βατράχου ήταν 60 εκ. Να βρείτε το μήκος του άλματος του τρίτου. [4 μόρια] (Α.Β.Σαποβάλοβ)


Πρόβλημα 3. Τα ψηφία από το έως το κρυπτογραφήθηκαν με τα γράμματα με κάποια σειρά. Με μια ερώτηση μπορούμε να προσδιορίσουμε την κρυπτογραφημένη γραφή του αθροίσματος μερικών διαφορετικών γραμμάτων. Για παράδειγμα, αν ρωτήσουμε «», τότε στην περίπτωση, που , η απάντηση θα είναι «». Πως μπορούμε με πέντε τέτοιες ερωτήσεις να προσδιορίσουμε, ποια γράμματα σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν; [6 μόρια] (Α.Α.Ζασλάβσκιϊ)


Πρόβλημα 4. Ένας λαβύρινθος για ποντίκια αποτελείται (βλέπε σχήμα) από ένα τετράγωνο διαστάσεων μέτρων, τα ποντίκια μπορούν να κινηθούν μόνο κατά μήκος των διαδρόμων. Σε δυο διασταυρώσεις τοποθετήθηκαν δυο ίδια κομμάτια τυρί (συμβολίζονται με σταυρούς). Σε μια άλλη διασταύρωση βρίσκεται ένα ποντίκι (συμβολίζεται με κυκλάκι). Το ποντίκι αισθάνεται, που είναι το τυρί, αλλά και προς τα δυο κομμάτια πρέπει να διανύσει ίση απόσταση. Για αυτό δεν μπορεί να διαλέξει σε ποιο κομμάτι να πάει και κάθεται σκεπτικά στην θέση του.
α) Σημειώστε άλλες πέντε διασταυρώσεις, όπου θα μπορούσε να κάτσει σκεπτικά το ποντίκι (από όπου και για τα δυο κομμάτια τυρί χρειάζεται να διανύσει ίσες αποστάσεις). [2 μόρια]
β) Σκεφτείτε, σε ποιες δυο διασταυρώσεις θα μπορούσαμε να τοποθετήσουμε από ένα κομμάτι τυρί έτσι, ώστε οι δυνατές διασταυρώσεις που θα είναι σκεπτικό το ποντίκι να είναι όσο το δυνατόν περισσότερες. [μέχρι 5 μόρια] (Τ.Β. Καζίτσινα)

Screen Shot 2022-04-02 at 18.01.27.png (7.32 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

Πρόβλημα 5. Μεταξύ μαθητών διοργανώθηκε ένα τουρνουά τένις. Κάθε συμμετέχων διεξήγαγε κάθε μέρα από ένα παιχνίδι, ως αποτέλεσμα στη διάρκεια ημερών ο καθένας έπαιξε ακριβώς από μια φορά με όλους τους υπόλοιπους. Το σχολείο έχει ένα γήπεδο τένις, για αυτό τα παιχνίδια διεξάγονταν με την σειρά. Ακριβώς μετά την πρώτη νίκη στο τουρνουά ενός συμμετέχοντα του δινόταν δώρο μια επώνυμη μπλούζα. Ισοπαλίες στο τένις δεν υπάρχουν. Ο Πέτρος ήταν ο ενδέκατος συμμετέχων που έλαβε μπλούζα και Βασίλης δέκατοσπέμπτος. Ο Πέτρος έλαβε την μπλούζα του την ενδέκατη μέρα του τουρνουά. Ποια μέρα έλαβε την μπλούζα του ο Βασίλης; [7 μόρια] (Μπ. Ρ. Φρένκιν)


Πρόβλημα 6. Μια γραμμή στοίχισης νεοσύλλεκτων ήταν παρατεταγμένη με πρόσωπο προς τον λοχία. Στο πρόσταγμα «κλίνατε επί αριστερά» μερικοί γύρισαν αριστερά και οι υπόλοιποι δεξιά. Προέκυψε, ότι τον σβέρκο του γείτονά τους βλέπουν έξι φορές περισσότεροι στρατιώτες από ότι το πρόσωπο. Ύστερα με το πρόσταγμα «μεταβολή» όλοι γύρισαν στην αντίθετη κατεύθυνση. Τώρα το σβέρκο του γείτονά τους βλέπουν εφτά φορές περισσότεροι στρατιώτες από ότι το πρόσωπο. Πόσοι είναι οι νεοσύλλεκτοι στην γραμμή στοίχισης; [8 μόρια] (Α.Β. Σαποβάλοβ)


Πηγή.

[Manolis Petrakis]

Πρόβλημα 3. Τα ψηφία από το έως το κρυπτογραφήθηκαν με τα γράμματα με κάποια σειρά. Με μια ερώτηση μπορούμε να προσδιορίσουμε την κρυπτογραφημένη γραφή του αθροίσματος μερικών διαφορετικών γραμμάτων. Για παράδειγμα, αν ρωτήσουμε «», τότε στην περίπτωση, που , η απάντηση θα είναι «». Πως μπορούμε με πέντε τέτοιες ερωτήσεις να προσδιορίσουμε, ποια γράμματα σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν; [6 μόρια] (Α.Α.Ζασλάβσκιϊ)

1)Επιλέγουμε αρχικά το άθροισμα . Βρίσκουμε έτσι τα γράμματα που αντιστοιχούν στα και .
2)Επιλέγουμε τα υπόλοιπα γράμματα. Έτσι (όπου το άθροισμα) και βρίσκουμε τα γράμματα που αντιστοιχούν στα και .
3)Επιλέγουμε τα υπόλοιπα γράμματα. Έτσι και βρίσκουμε τα γράμματα που αντιστοιχούν στα και .
4)Επιλέγουμε τα υπόλοιπα γράμματα. Έτσι και βρίσκουμε τα γράμματα που αντιστοιχούν στα και .
5)Επιλέγουμε τα υπόλοιπα γράμματα. Έτσι και βρίσκουμε το γράμμα που αντιστοιχεί στο .
Το γράμμα που περισσεύει αντιστοιχεί στο .