Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 2η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την δεύτερη μέρα, 14 Μαρτίου 2020.

Πρόβλημα 1. Ένας νεαρός κινείτε με πατίνι από την μια στάση λεωφορείου στην επόμενη και κοιτάει τον καθρέφτη, εμφανίστηκε πίσω το λεωφορείο ή όχι. Μόλις ο νεαρός αντιληφθεί (δει) το λεωφορείο, μπορεί να αλλάξει την κατεύθυνση της κίνησής του. Για ποια μέγιστη απόσταση μεταξύ των στάσεων ο νεαρός εγγυημένα δεν θα χάσει το λεωφορείο, αν ξέρει, ότι κινείται με ταχύτητα τρεις φορές μικρότερη του λεωφορείου και μπορεί να δει το λεωφορείο σε απόσταση το πολύ

χιλιομέτρων. (Άγνωστος)

Πρόβλημα 2. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{ \tan \pi x = \left[\lg \pi^x\right]-\left[\lg \left[\pi^x \right]\right], }$

όπου με $\left [ a \right ]$ συμβολίζουμε τον μέγιστο ακέραιο, που δεν υπερβαίνει το

. (Α.Β. Μπεγκούντς)

Πρόβλημα 3. Σε κυκλικό περιστρεφόμενο τραπέζι, στο οποίο είναι τοποθετημένες

άσπρες κούπες και

μαύρες, κάθονται

νάνοι. Αυτοί φόρεσαν

άσπρα και

μαύρα καπέλα. Ο κάθε νάνος παίρνει για τον εαυτό του μια κούπα, με χρώμα που συμπίπτει με αυτό του καπέλου του και την τοποθετεί μπροστά του, μετά από αυτό το τραπέζι περιστρέφεται με τυχαίο τρόπο. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ταιριασμάτων χρώματος κούπας και καπέλου που μπορούμε να εγγυηθούμε μετά την περιστροφή του τραπεζιού (οι νάνοι μόνοι τους διαλέγουν, πως θα κάτσουν, αλλά δεν ξέρουν πως θα περιστραφεί το τραπέζι); (Μ.Σ.Λόμπανοβ)

Πρόβλημα 4. Στην πλευρά

του τριγώνου ABC

διελέγχθηκε σημείο

, ώστε η γωνία $\angle BDC$ να είναι ίση με την γωνία $\angle ABC$ . Με τι ισούται η ελάχιστη δυνατή απόσταση μεταξύ των κέντρων των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ABC

και

, αν

; (Μ.Α.Εβδοκίμοβ)

Πρόβλημα 5. Ένας τζίτζικας κάνει άλματα πάνω στην ευθεία των αριθμών, στην οποία είναι σημειωμένα τα σημεία

και

. Είναι γνωστό, ότι οι

και

είναι θετικοί αριθμοί και ο λόγος τους είναι άρρητος. Αν ο τζίτζικας βρίσκεται σε σημείο, το οποίο είναι πιο κοντά στο

, τότε κάνει άλμα προς τα δεξιά σε απόσταση, ίση με

. Και αν βρίσκεται στο μέσο του διαστήματος $\left [-a, b \right ]$ ή σε σημείο, το οποίο είναι πιο κοντά στο

, τότε κάνει άλμα προς τα αριστερά σε απόσταση, ίση με

. Να αποδείξετε, ότι ανεξάρτητα από την αρχική του θέση ο τζίτζικας κάποια χρονική στιγμή θα προκύψει να βρίσκεται από το σημείο

σε απόσταση, μικρότερη του $10^{-6}$ . (Π.Α. Μπορόντιν)

Πηγή

S.E.Louridas · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:23 pm
LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την δεύτερη μέρα, 14 Μαρτίου 2020.[/i}
.........................................................................................................

Πρόβλημα 4. Στην πλευρά του τριγώνου διελέγχθηκε σημείο , ώστε η γωνία $\angle BDC$ να είναι ίση με την γωνία $\angle ABC$ . Με τι ισούται η ελάχιστη δυνατή απόσταση μεταξύ των κέντρων των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και , αν ; (Μ.Α.Εβδοκίμοβ)
.........................................................................................................

Γεια χαρά.

Κατανοούμε ότι $\displaystyle{\angle CBD = \angle A}$ , οπότε ο κύκλος εφάπτεται της στο

Τότε $\displaystyle{\angle BLK = \angle B,\;\angle LKB = \angle C,\;\vartriangle BKL \sim \vartriangle ABC.}$ Άρα έχουμε: $\displaystyle{\frac{{LK}}{{BC}} = \frac{R}{{AC}} \Rightarrow LK = \frac{{BC}}{{2\sin B}} \geqslant \frac{{BC}}{2}.}$

Άρα έχουμε $\displaystyle{{\left( {LK} \right)_{\min }} = \frac{{BC}}{2},$ όταν $\displaystyle{\angle B = \frac{\pi }{2},}}$ δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην γωνία $\displaystyle{\angle B}$ . (*)

Στη περίπτωση μας όπου το ζητούμενο ελάχιστο είναι $\frac{1}{2}.$

(*) Παρατήρηση:
Με βάση το πρόβλημα αυτό, και επειδή το ολικό ελάχιστο είναι μονοσήμαντη τιμή, έχει σημασία να παρατηρήσουμε, ότι η απόσταση μεταξύ των κέντρων δύο "τέτοιων" κύκλων σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο στη κορυφή με την κάθετη σταθερή, είναι ως απόσταση σταθερή. Πράγματι, αν $\displaystyle{\angle B = \frac{\pi }{2},}}$ τότε, θα είχαμε $L\equiv F, K\equiv Z.$ Θα μπορούσε επομένως να ζητηθεί για το πρόβλημα μας, και κάτω από μία άλλη φραστική, να αποδειχθεί ότι π.χ. $KL\geq \frac{BC}{2}.$

: qwed.png (26.86 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 2η μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 2η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση