Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (6ή τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018, θέματα της 6η τάξης
(XXIX Μαθηματική Γιορτή)*

Πρόβλημα 1. Μια αράχνη έχει υφάνει ιστό και σε όλους τους 12 κόμβους του πιάστηκε μια μύγα ή κουνούπι. Εξάλλου κάθε έντομο προέκυψε να είναι συνδεδεμένο με ένα τμήμα ιστού ακριβώς με δυο κουνούπια. Σχεδιάστε παράδειγμα για το πως μπορεί να συμβεί αυτό (βλατε στους κόμβους ένα Μ για μύγα ή Κ για κουνούπι).

: araxni.png (40.02 KiB) Προβλήθηκε 1492 φορές

Πρόβλημα 2. Ο Dunno έγραψε εφτά διψήφιους αριθμούς σε αύξουσα σειρά. Έπειτα ίδια ψηφία τα αντικατέστησε με ίδια γράμματα και τα διαφορετικά με διαφορετικά. Να τι προέκυψε:

ΧΑ, ΑΗ, ΑΧ, ΟΗ, ΕΜ, ΕΗ, ΜΙ

Να αποδείξετε ότι ο Dunno κάπου μπερδεύτηκε.

Πρόβλημα 3. Η στάση λεωφορείου Β βρίσκεται σε ευθύγραμμο αυτοκινητόδρομο μεταξύ των στάσεων Α και Γ. Ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα μετά την εκκίνηση από την στάση Α το λεωφορείο βρέθηκε σε τέτοιο σημείο της διαδρομής, ώστε η απόσταση από αυτό έως μια από τις στάσεις να είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεων από αυτό προς τις άλλες δυο. Μετά από ίσο χρονικό διάστημα με το προηγούμενο, το λεωφορείο εκ νέου βρέθηκε σε σημείο της διαδρομής με την παραπάνω ιδιότητα και μετά από

λεπτά έφτασε στη στάση Β. Πόσο χρόνο χρειάζεται το λεωφορείο για ολόκληρη την διαδρομή από το Α στο Γ, αν η ταχύτητα του είναι σταθερή και στη στάση Β κάνει στάση

λεπτών;

Πρόβλημα 4. Η δασκάλα έγραψε στον πίνακα διψήφιο αριθμό και ρώτησε τον Δημήτρη με την σειρά, διαιρείται ο αριθμός με το

; Με το

; … Με το

; Σε όλες και τις οχτώ ερωτήσεις ο Δημήτρης απάντησε σωστά, εξάλλου οι απαντήσεις "ναι" και "όχι" ήταν ίσες σε αριθμό.
α) Μπορείτε άραγε εσείς τώρα να απαντήσετε σωστά τουλάχιστον σε μια από τις ερωτήσεις της δασκάλας, χωρίς να ξέρετε τον ίδιο τον αριθμό;
β) Σε τουλάχιστον δυο ερωτήσεις;

Πρόβλημα 5. Έξι μαθηματικοί πήγαν για ψάρεμα. Όλο μαζί έπιασαν 100

ψάρια, εξάλλου όλοι τους έπιασαν διαφορετικό αριθμό ψαριών. Μετά το ψάρεμα παρατήρησαν, ότι οποιοσδήποτε από αυτούς θα μπορούσε μοιράσει όλα τα ψάρια του στους άλλους, ώστε οι υπόλοιποι πέντε να έχουν από ίσο αριθμό ψαριών. Αποδείξτε, ότι ένας μαθηματικός μπορεί να πάει σπίτι του με την ψαριά του και την ίδια στιγμή πάλι οποιοσδήποτε από τους εναπομείναντες θα μπορούσε να μοιράσει όλα τα ψάρια του στους άλλους έτσι, ώστε να προκύψει να έχουν ίσο αριθμό ψαριών.

Πρόβλημα 6. Κόψτε ένα τετράγωνο $9 \times 9$ κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε τρία σχήματα ίσου εμβαδού έτσι, ώστε η περίμετρος ενός εξ αυτών να είναι ίση με το άθροισμα της περιμέτρου των άλλων δυο.

: tetragwno.png (14.45 KiB) Προβλήθηκε 1492 φορές

(*)Η Μαθηματική Γιορτή είναι ένα γεγονός/εκδήλωση που απευθύνεται σε μαθητές της 6ης και 7ης τάξης, που τους ενδιαφέρουν τα μαθηματικά. Διεξάγεται από το 1990 στα κτήρια του Κρατικού Πανεπιστήμιού της Μόσχας και από το 1994 διεξάγεται ως μέρος την Μαθηματικής Ολυμπιάδας της Μόσχας. Η γιορτή περιλαμβάνει την διεξαγωγή της ολυμπιάδας για τους μαθητές , διαλέξεις για τους μαθητές και τους γονείς, μαθηματικά παιχνίδια, προβολή κινουμένων σχεδίων/ταινιών, απονομή βραβείων και άλλα.

Η συμμετοχή των μαθητών είναι αρκετά μαζική 4-5 χιλιάδες για την 6η τάξη και 3 για την 7η. οι διοργανωτές προσπαθούν να διαλέξουν προβλήματα για την λύση των οποίων δεν χρειάζονται γνώσεις, που ξεφεύγουν από το σχολικό πρόγραμμα (μερικές φορές τέτοιες γνώσεις εμποδίζουν), παρά μόνο φαντασία και σκέψη.

Μεγάλο ρόλο στην προετοιμασία και διεξαγωγή της Μαθηματικής Γιορτής έχουν οι φοιτητές του πανεπιστήμιου( ίδιοι συμμετέχοντες πριν μερικά χρόνια ). Μια από τις βασικές παραδόσεις.

Πηγή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2018 3:42 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018, θέματα της 6η τάξης
(XXIX Μαθηματική Γιορτή)*

Πρόβλημα 2. Ο Dunno έγραψε εφτά διψήφιους αριθμούς σε αύξουσα σειρά. Έπειτα ίδια ψηφία τα αντικατέστησε με ίδια γράμματα και τα διαφορετικά με διαφορετικά. Να τι προέκυψε:

ΧΑ, ΑΗ, ΑΧ, ΟΗ, ΕΜ, ΕΗ, ΜΙ

Να αποδείξετε ότι ο Dunno κάπου μπερδεύτηκε.

Είναι

και

Αρα

που δείχνει ότι το τελευταίο είναι μικρότερο από το πρώτο.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2018 3:42 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018, θέματα της 6η τάξης
(XXIX Μαθηματική Γιορτή)*

Πρόβλημα 4. Η δασκάλα έγραψε στον πίνακα διψήφιο αριθμό και ρώτησε τον Δημήτρη με την σειρά, διαιρείται ο αριθμός με το ; Με το ; Με το ; … Με το ; Σε όλες και τις οχτώ ερωτήσεις ο Δημήτρης απάντησε σωστά, εξάλλου οι απαντήσεις "ναι" και "όχι" ήταν ίσες σε αριθμό.
α) Μπορείτε άραγε εσείς τώρα να απαντήσετε σωστά τουλάχιστον σε μια από τις ερωτήσεις της δασκάλας, χωρίς να ξέρετε τον ίδιο τον αριθμό;
β) Σε τουλάχιστον δυο ερωτήσεις;

Θεωρούμε το σύνολο $\displaystyle{A=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}}$

Ο διψήφιος αριθμός που γράφτηκε στον πίνακα, με βάση το πρόβλημα, πρέπει να έχει ακριβώς

διαιρέτες από το σύνολο $\displaystyle{A}$ .

Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός που γράφτηκε ήταν περιττός, τότε αποκλείεται να διαιρείται από τους αριθμούς $\displaystyle{2,4,6,8}$

Άρα υποχρεωτικά θα πρέπει να διαιρείται από τους $\displaystyle{3,5,7,9}$ .

Όμως ο πιο μικρός αριθμός που διαιρείται από τους $\displaystyle{3,5,7,9}$ είναι ο $\displaystyle{5.7.9}$ , δηλαδή ο $\displaystyle{315}$ , που δεν είναι διψήφιος

και άρα δεν μας κάνει. Άρα στον πίνακα γράφτηκε σίγουρα άρτιος διψήφιος αριθμός.

Επίσης ο αριθμός που γράφτηκε στον πίνακα, αποκλείεται να έχει την μορφή $\displaystyle{2.p}$ , όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος , διότι τότε

οι μοναδικοί διαιρέτες άπό το σύνολο $\displaystyle{A}$ του διψήφιου που γράφτηκε στον πίνακα θα ήταν οι $\displaystyle{2}$ και $\displaystyle{p}$ .

Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός που η δασκάλα έγραψε στον πίνακα θα είναι της μορφής $\displaystyle{2.q}$ , όπου

ο $\displaystyle{q}$ είναι σύνθετος. Δηλ. θα είναι ένας από τους αριθμούς: $\displaystyle{2.6 , 2.8 , 2.9 , ... , 2.49}$

Δοκιμάζουμε πρώτα τον $\displaystyle{2.6 = 12 = 2.2.3}$ . Οι διαιρέτες από το $\displaystyle{A}$ αυτού είναι $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 6}$ και άρα μας κάνει

Δοκιμάζουμε τον $\displaystyle{2.8 = 16 = 2.2.2.2}$ . Οι διαιρέτες από το $\displaystyle{A}$ αυτού είναι: $\displaystyle{2 , 4 , 8}$ , άρα δεν μας κάνει

Δοκιμάζουμε τον $\displaystyle{2-9 =18 =2.3.3}$ . Οι διαιρέτες από το $\displaystyle{A}$ αυτού είναι $\displaystyle{2 , 3 , 6 , 9}$ , άρα μας κάνει.

Δοκιμάζουμε τον $\displaystyle{2.10 = 20 = 2.2.5}$ . Οι διαιρέτες από το $\displaystyle{A}$ αυτού είναι $\displaystyle{2 , 4 , 5}$ , άρα δεν μας κάνει

Δοκιμάζουμε τον $\displaystyle{2.12 = 24 = 2.2.2.3}$ . Οι διαιρέτες από το $\displaystyle{A}$ αυτού είναι $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 6 , 8}$ , άρα δεν μας κάνει

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, βρίσκουμε ότι τελικά, ο αριθμός που γράφτηκε στον πίνακα είναι κάποιος από το

σύνολο $\displaystyle{B=\{12,18,30,40,42,54,56,80\}}$

Στην (α) ερώτηση μπορούμε να απαντήσουμε με βεβαιότητα ότι ο αριθμός διαιρείται με το $\displaystyle{2}$ .

Στην (β) ερώτηση, δεν μπορούμε να απαντήσουμε με βεβαιότητα, αφού με το $\displaystyle{3}$ , δεν διαιρούνται όλοι οι αριθμοί

του συνόλου $\displaystyle{B}$ , ούτε με το $\displaystyle{4}$ , ούτε με το $\displaystyle{5}$ , ούτε με το $\displaystyle{6}$ , ούτε με το $\displaystyle{7}$ , ούτε με το $\displaystyle{8}$ , ούτε

με το $\displaystyle{9}$ .

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2018 3:42 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018, θέματα της 6η τάξης
(XXIX Μαθηματική Γιορτή)*

Πρόβλημα 5. Έξι μαθηματικοί πήγαν για ψάρεμα. Όλο μαζί έπιασαν ψάρια, εξάλλου όλοι τους έπιασαν διαφορετικό αριθμό ψαριών. Μετά το ψάρεμα παρατήρησαν, ότι οποιοσδήποτε από αυτούς θα μπορούσε μοιράσει όλα τα ψάρια του στους άλλους, ώστε οι υπόλοιποι πέντε να έχουν από ίσο αριθμό ψαριών. Αποδείξτε, ότι ένας μαθηματικός μπορεί να πάει σπίτι του με την ψαριά του και την ίδια στιγμή πάλι οποιοσδήποτε από τους εναπομείναντες θα μπορούσε να μοιράσει όλα τα ψάρια του στους άλλους έτσι, ώστε να προκύψει να έχουν ίσο αριθμό ψαριών.

Αφού όταν ο οποιοσδήποτε δώσει στους υπόλοιπους πέντε τα ψάρια του, θα έχουν όλοι (οι πέντε) από ίσα, δηλαδή θα έχουν όλοι από
$\displaystyle{100:5=20}$ , άρα αποκλείεται κάποιος από τους έξι ψαράδες να έχει περισσότερα από $\displaystyle{20}$ ψάρια.
Επίσης, αν υποθέσουμε ότι κανείς δεν έχει $\displaystyle{20}$ , αλλά έχουν όλοι τους το πολύ $\displaystyle{19}$ ψάρια, τότε και με δεδομένο ότι όλοι τους έχουν
πιάσει διαφορετικό αριθμό ψαριών, τα ψάρια που θα είχαν συνολικά θα ήταν το πολύ $\displaystyle{19+18+17+16+15+14}$ , δηλαδή $\displaystyle{99}$ ,
που είναι άτοπο, αφού από την υπόθεση όλα τα ψάρια τους ήταν $\displaystyle{100}$ .

Άρα ένας μόνο θα έχει πιάσει $\displaystyle{20}$ ψάρια και οι άλλοι το πολύ μέχρι $\displaystyle{19}$ .

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{a , b , c , d , e , z}$ τα ψάρια του καθενός, και έστω ότι $\displaystyle{a>b>c>d>e>z}$ . Τότε είδαμε πιο πάνω ότι $\displaystyle{a=20}$ ,
ενώ από την υπόθεση είναι $\displaystyle{a+b+c+d+e+z=100}$

Αν ήταν $\displaystyle{b\leq 17}$ , τότε θα ήταν και $\displaystyle{c\leq 16 , d\leq 15 , e\leq 14 , z\leq 13}$ και άρα $\displaystyle{a+b+c+d+e+z\leq 95}$ , άτοπο.
Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{b=18}$ ή $\displaystyle{b=19}$

(1) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Έστω $\displaystyle{b=18}$ . Τότε έχουμε $\displaystyle{a=20 , b=18}$
Έστω $\displaystyle{c\leq 16}$ . Τότε θα είναι $\displaystyle{d\leq 15 , e\leq 14 , z\leq 13}$ . Άρα $\displaystyle{a+b+c+d+e+z\leq 96}$ , άτοπο.
Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{c=17}$ . Δηλαδή $\displaystyle{a=20 , b=18 , c=17}$
Έστω $\displaystyle{d\leq 15}$ . Τότε θα είναι $\displaystyle{e\leq 14 , z\leq 13}$ . Άρα $\displaystyle{a+b+c+d+e+z\leq 97}$ , άτοπο.
Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{d=16}$ . Δηλαδή $\displaystyle{a=20, b=18, c=17, d=16}$
Έστω $\displaystyle{e\leq 14}$ . Τότε $\displaystyle{z\leq 13}$ και άρα $\displaystyle{a+b+c+d+e+z\leq 98}$ , άτοπο.
Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{e=15}$ , οπότε στην περίπτωση αυτή τα ψάρια που έπιασαν οι έξι ψαράδες, είναι:

$\displaystyle{20,18,17,16,15,14}$ .

Παρατηρούμε ότι αν αυτός που έπιασε τα $\displaystyle{20}$ ψάρια επιστρέψει στο σπίτι του με την ψαριά του, τότε οποιοσδήποτε από τους
υπόλοιπους πέντε, θα μπορεί να μοιράσει τα ψάρια του στους άλλους τέσσερις, ώστε αυτοί να έχουν όλοι από $\displaystyle{20}$ ψάρια
(Π.χ, αυτός που έπιασε $\displaystyle{18}$ ψάρια, αν δώσει σε αυτούς που έπιασαν $\displaystyle{17,16,15,14}$ από $\displaystyle{3,4,5,6}$ ψάρια αντιστοίχως,
τότε αυτοί θα έχουν από $\displaystyle{20}$ ο καθένας τους)

(2) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Έστω $\displaystyle{b=19}$ . Τότε έχουμε $\displaystyle{a=20 , b=19}$
Έστω $\displaystyle{c\leq 16}$ . Τότε θα είναι $\displaystyle{d\leq 15 , e\leq 14 , z\leq 13}$ και άρα $\displaystyle{a+b+c+d+e+z\leq 97}$ , άτοπο.
Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{c=17}$ ή $\displaystyle{c=18}$ .

(2α) ΥΠΟΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{c=17}$ . Τότε $\displaystyle{a=20 , b=19 , c=17}$ .
Έστω $\displaystyle{d\leq 15}$ . Τότε θα είναι $\displaystyle{e\leq 14 , z\leq 13}$ και άρα $\displaystyle{a+b+c+d+e+z\leq 98}$ , άτοπο.
Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{d=16}$ . Δηλαδή $\displaystyle{a=20, b=19, c=17, d=16 }$
Ομοίως εύκολα, υποθέτοντας ότι $\displaystyle{e\leq 14}$ καταλήγουμε σε άτοπο , άρα θα είναι $\displaystyle{e=15}$ και συνεπώς τα ψάρια και των έξι
ψαράδων, θα είναι :

$\displaystyle{20,19,17,16,15,13}$

Παρατηρούμε ότι και σε αυτήν την περίπτωση, αν αυτός που έπιασε τα $\displaystyle{20}$ ψάρια επιστρέψει στο σπίτι του με την ψαριά του, τότε
οποιοσδήποτε από τους υπόλοιπους πέντε θα μπορεί να μοιράσει τα ψάρια του στους άλλους τέσσερις, ώστε αυτοί να έχουν όλοι
από $\displaystyle{20}$ .

2(β) ΥΠΟΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{c=18}$ . Τότε $\displaystyle{a=20 , b=19 , c=18}$ .
Έστω $\displaystyle{d\leq 15}$ . Τότε ομοίως βρίσκουμε ότι $\displaystyle{a+b+c+d+e+z\leq 99}$ , άτοπο.
Άρα υποχρεωτικά θα είναι $\displaystyle{d=16}$ ή $\displaystyle{d=17}$

*** Αν $\displaystyle{d=16}$ , ομοίως βρίσκουμε ότι τα ψάρια των έξι ψαράδων θα μπορούν να είναι:
$\displaystyle{20,19,18,16,14,13}$ , ή
$\displaystyle{20,19,18,16,15,12}$

***Αν $\displaystyle{d=17}$ , ομοίως τα ψάρια των έξι ψαράδων θα μπορούν να είναι:
$\displaystyle{20,19,18,17,14,12}$ , ή
$\displaystyle{20,19,18,17,15,11}$ , ή
$\displaystyle{20,19,18,17,16,10}$

Και πάλι παρατηρούμε ότι αν αυτός που έπιασε τα $\displaystyle{20}$ ψάρια επιστρέψει στο σπίτι του με την ψαριά του, τότε οποιοσδήποτε από τους
υπόλοιπους πέντε θα μπορεί να δώσει τα ψάρια του στους άλλους τέσσερις, ώστε αυτοί να έχουν όλοι από $\displaystyle{20}$ .

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (6ή τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (6ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (6ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (6ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (6ή τάξη)

Μέλη σε σύνδεση