Μαθηματική Ολυμπιάδα Λέοναρντ Όιλερ 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 697
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μαθηματική Ολυμπιάδα Λέοναρντ Όιλερ 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιαν 11, 2018 11:09 pm

Μαθηματική Ολυμπιάδα Λέοναρντ Όιλερ 2017, για την 8η τάξη

Επειδή οι δύο τελευταίες φάσεις την πανρωσικής ολυμπιάδας διεξάγονται μόνο για τις τάξεις 9-11, για την όγδοη τάξη διεξάγεται μια διαφορετική ολυμπιάδα. Το όνομα αυτής «Λέοναρντ Όιλερ». Διεξάγεται σε τρείς φάσης και μπορούν να συμμετάσχουν και παιδιά μικρότερων τάξεων. Αξιοσημείωτο είναι ότι οι διακριθέντες μαθητές καλούνται σε καλοκαιρινό σχολείο 24ημερών στο Σότσι με τα έξοδα μεταφοράς διαμονής πληρωμένα.
Παρακάτω τα περσινά θέματα της τελικής φάσης.

Πρώτη Μέρα


1. Μπορεί άραγε σε κάθε ψηφίο από το 0 έως το 9 να αντιστοιχίσουμε μία τιμή έτσι, ώστε όλες οι δέκα τιμές να είναι διαφορετικές μεταξύ τους και να βρεθούν 20 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, ο καθένας εκ των οποίων, εξαιρουμένου του πρώτου, να κοστίζει περισσότερο από τον προηγούμενό του; Εδώ η τιμή ενός φυσικού αριθμού είναι το άθροισμα των τιμών των ψηφίων που τον αποτελούν.


2. Η γραφική παράσταση y=x+b\sqrt{x}+c, όπου c > 0, έχει με τον άξονα των τεταγμένων κοινό το σημείο C και ο άξονας των τετμημένων την τέμνει στα σημεία X_{1} και X_{2}. Συμβολίζουμε με O την αρχή των αξόνων. Αποδείξτε, ότι \angle CX_{1}O + \angle CX_{2}O = 90^0


3. Οι διαγώνιοι κυρτού τετράπλευρου ABCD τέμνονται στο σημείο E. Είναι γνωστό, ότι AB=BC=CD=DE=1. Αποδείξτε, ότι AD < 2.


4. Ο Δίας έχει ένα ζυγό, με τον οποίο έχει την δυνατότητα να μετρήσει το βάρος του φορτίου που τοποθετείτε σε αυτό και ένα σάκο με 100 νομίσματα, μεταξύ των οποίων υπάρχουν των 10 και 9 γραμμαρίων. Του Δία του είναι γνωστό το συνολικό πλήθος N, νομισμάτων των 10 γραμμαρίων που περιέχει ο σάκος, αλλά του είναι άγνωστο ποια ακριβώς και πόσο ζυγίζουν. Θέλει να κάνει τέσσερεις ζυγίσεις στο ζυγό και ως αποτέλεσμα εγγυημένα να βρει τουλάχιστον ένα νόμισμα των 9 γραμμαρίων. Για ποιο μέγιστο N αυτό είναι δυνατό;


Δεύτερη Μέρα


5. Ένας μη μηδενικός φυσικός αριθμός a διαιρέθηκε (Ευκλείδεια διαίρεση) με τους αριθμούς 1,2,3, \ldots , 1000. Μπορεί άραγε μεταξύ των υπολοίπων ακριβώς από 10 φορές να προκύψουν οι αριθμοί 0,1,2,3, \ldots ,99;


6. Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD οι γωνίες A και C είναι ίσες με 100^0. Στις πλευρές AB και BC θεωρούμε δυο σημεία  X και Y αντίστοιχα έτσι, ώστε AX=CY. Προέκυψε, ότι η ευθεία YD είναι παράλληλη προς την διχοτόμο της γωνίας ABC. Να βρείτε την γωνία AXY.


7. Δίνεται κύκλος μήκους 90. Μπορούμε άραγε να σημειώσουμε σε αυτόν 10 σημεία έτσι, ώστε μεταξύ των τόξων με άκρα αυτά τα σημεία να προκύψουν τόξα με μήκη όλους τους ακέραιους από το 1 έως το 89;


8. Δίνεται περιττός φυσικός αριθμός a, μεγαλύτερος του 100. Στον πίνακα γράφτηκαν όλοι οι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί της μορφής \dfrac{a-n^2}{4}, όπου n μη μηδενικός φυσικός αριθμός. Προέκυψε, ότι για n \leq \sqrt{\dfrac{a}{5}} όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι πρώτοι. Αποδείξετε, ότι και ο κάθε ένας από τους υπόλοιπους φυσικούς αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι είτε πρώτος είτε ίσος με ένα.



Λέξεις Κλειδιά:
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης