Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

#1

Πρόβλημα 1

(α) Στην ακολουθία $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ είναι a_0=0, a_1 = 1

και ισχύει

$\displaystyle a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 2, \quad \forall n\in\{1,2,3,\ldots\}$

Να αποδείξετε ότι: $a_n = n^2, \, \forall n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι: $a_{n+1} + a_n - 1$ είναι πολλαπλάσιο του 4, για κάθε $n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Πρόβλημα 2

Ίδιο με το 3 της Β' Λυκείου. (Δείτε εδώ)

Πρόβλημα 3

Έστω συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

Συνεχής στο

Δύο φορές παραγωγίσιμη στο με $f''(x) > 0, \, \forall x \in (a,b)$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(\rho) =0$ .

Πρόβλημα 4

Οι διάμεσοι $B\Delta,\Gamma E$ τριγώνου $AB\Gamma$ τέμνονται στο σημείο $\Theta$ . Να αποδείξετε ότι: Το τετράπλευρο $AE\Theta \Delta$ είναι περιγράψιμο, αν και μόνον αν $AB = A\Gamma$ .

#2

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:09 pm
Πρόβλημα 4

Οι διάμεσοι $B\Delta,\Gamma E$ τριγώνου $AB\Gamma$ τέμνονται στο σημείο $\Theta$ . Να αποδείξετε ότι: Το τετράπλευρο $AE\Theta \Delta$ είναι περιγράψιμο, αν και μόνον αν $AB = A\Gamma$ .

$\displaystyle{AE\Theta \Delta}$ περιγράψιμο αν και μόνο αν $\displaystyle{AE+\Theta \Delta=A\Delta +E\Theta \iff \frac{c}{2}+\frac{1}{3}m_b=\frac{b}{2}+\frac{1}{3}m_c\iff }$

$\displaystyle{\iff 2(m_b-m_c)=3(b-c).}$

Η απόδειξη ολοκληρώνεται με χρήση της ιδιότητας $\displaystyle{x\geq y\iff m_x\leq m_y.}$

#3

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:09 pm
Πρόβλημα 1

(α) Στην ακολουθία $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ είναι και ισχύει

$\displaystyle a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 2, \quad \forall n\in\{1,2,3,\ldots\}$

Να αποδείξετε ότι: $a_n = n^2, \, \forall n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι: $a_{n+1} + a_n - 1$ είναι πολλαπλάσιο του 4, για κάθε $n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{a_n=b_n +n^2,}$ οπότε με αντικατάσταση στις αρχικές σχέσεις βλέπουμε ότι

$\displaystyle{b_0=b_1=0}$ και $\displaystyle{b_{n+1}=2b_n-b_{n-1}}$ για κάθε $\displaystyle{n>1.}$ Από αυτές είναι φανερό ότι $\displaystyle{b_n=0}$ για κάθε $\displaystyle{n}$ .

Επομένως $\displaystyle{a_n=n^2}$ για κάθε $\displaystyle{n.}$

Τότε

$\displaystyle{a_{n+1} + a_n - 1=(n+1)^2+n^2-1=2n(n+1)=4k,}$ αφού $\displaystyle{n(n+1)}$ είναι άρτιος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:09 pm
Πρόβλημα 1

(α) Στην ακολουθία $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ είναι και ισχύει

$\displaystyle a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 2, \quad \forall n\in\{1,2,3,\ldots\}$

Να αποδείξετε ότι: $a_n = n^2, \, \forall n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Το γράφω για να μου πείτε τι θα έπαιρνα αν ήμουν μαθητής.
Για n=0,1

ισχύει.
Εστω ότι ισχύει για n=k,k-1

Τότε $a_{k+1}=2+2a_{k}-a_{k-1}=2+2k^{2}-(k-1)^{2}=(k+1)^{2}$
Από επαγωγή ισχύει για όλα τα $n\in \mathbb{N}$
Συμπλήρωμα. Διορθώθηκαν τυπογραφικά που υπέδειξε παρακάτω ο
Δημήτρης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:09 pm
Πρόβλημα 3

Έστω συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

Συνεχής στο

Δύο φορές παραγωγίσιμη στο με $f''(x) > 0, \, \forall x \in (a,b)$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(\rho) =0$ .

Από Bolzano έχει τουλάχιστον μια ρίζα.

Θα αποκλείσουμε ότι έχει δεύτερη.

Εστω ότι έχει δύο τις k,l

με

Θα έχουμε

Από Rolle στο [k,l]

υπάρχει

με

Από ΘΜΤ στο [a,k]

υπάρχει $t\in (a,k)$

με $f'(t)=\dfrac{f(k)-f(a)}{k-a}=\dfrac{-f(a)}{k-a}$

Από ΘΜΤ για την

στο

υπάρχει $q\in (t,m)$ με

$f''(q)=\dfrac{f'(m)-f'(t)}{m-t}=\dfrac{\dfrac{f(a)}{k-a}}{m-t}< 0$
ΑΤΟΠΟ.

ΑΤΟΠΟ

maiksoul · #6

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:09 pm

Πρόβλημα 3

Έστω συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

Συνεχής στο

Δύο φορές παραγωγίσιμη στο με $f''(x) > 0, \, \forall x \in (a,b)$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(\rho) =0$ .

Καλησπέρα ,λίγο διαφορετικά από τον Σταύρο παραπάνω.

Είναι σαφές ότι η (μη σταθερή μας ) συνάρτηση έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Έστω λοιπόν $\kappa \in \left ( \alpha \right,b )$ ο πρώτος αριθμός που είναι ρίζα της.

Στο διάστημα $[\alpha,\kappa]$ το Θεώρημα Μέσης Τιμής μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει μοναδικό $\lambda \in (\alpha,\kappa ):f'(\lambda)=\frac{f(\kappa)-f(\alpha)}{\kappa-\alpha} =\frac{-f(\alpha)}{\kappa-\alpha}> 0$

Είναι σαφές ότι η

είναι γνησίως αύξουσα, επομένως: $\forall x> \kappa > \lambda \Rightarrow f'(x)> f'(\kappa)> f'(\lambda )>0$

Άρα $\forall x> \kappa \Rightarrow f(x)> f(\kappa)=0$ .

Επομένως η συνάρτηση δεν έχει άλλη ρίζα.

Ανδρέας Πούλος · #7

Η αρχική σχέση γράφεται:
$\left ( a_{n+1}-a_{n} \right )-\left ( a_{n} -a_{n-1}\right )=2$ .
Ορίζουμε την ακολουθία $b_{n}=a_{n}-a_{n-1}$ .
Άρα, ισχύει $b_{n+1}-b_{n}=2$ .
Αυτό σημαίνει ότι η νέα ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2 και πρώτον όρο το 1.
Άρα, $b_{n}=2n-1$ .
Τώρα χρησιμοποιούμε γνωστές τεχνικές άθροισης και τον τύπο 1 + 3+ 5 + + (2n-1) = n^2

Έχουμε:
$b_{1 =a_{1}}-a_{0}$
$b_{2}=a_{2}-a_{1}$
$b_{3}=a_{3}-a_{2}$
................
$b_{n}=a_{n}-a_{n-1}$

Άρα, $n^2 = a_{n}-a_{0}$ .

Συνεπώς, $a_{n} = n^2$

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 7:25 pm

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:09 pm
Πρόβλημα 1

(α) Στην ακολουθία $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ είναι και ισχύει

$\displaystyle a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 2, \quad \forall n\in\{1,2,3,\ldots\}$

Να αποδείξετε ότι: $a_n = n^2, \, \forall n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ .
Το γράφω για να μου πείτε τι θα έπαιρνα αν ήμουν μαθητής.
Για ισχύει.
Εστω ότι ισχύει για
Τότε $a_{k+1}=2+2a_{k}-2a_{k-1}=2+k^{2}-(k-1)^{2}=(k+1)^{2}$
Από επαγωγή ισχύει για όλα τα $n\in \mathbb{N}$

Σταύρο, δεν ξέρω αν τα τυπογραφικά μπήκαν επίτηδες ή όχι. Στην προτελευταία γραμμή έχεις $-2a_{k-1}$ αντί $-a_{k-1}$ . Στην ίδια γραμμή έχεις επίσης k^2

αντί

.

Δεν ήμουν στους διορθωτές αυτού του γραπτού. Αν ήμουν θα έδινα 5 μονάδες για το (α) και 5 για το (β). Τις μονάδες για το (α) θα τις έσπαζα ως εξής:
2 μονάδες για την σωστή δομή της επαγωγής (1 από αυτές για την παρατήρηση ότι χρειαζόμαστε δύο τιμές για να τρέξει η επαγωγή)
3 μονάδες για το επαγωγικό βήμα.

Η δομή της επαγωγής. Θα προτιμούσα όμως να δω γραμμένο το a_0 = 0=0^2

και

. Τα

και $a_{k-1} = (k-1)^2$ δεν τα έγραψες όμως τα χρησιμοποιείς αργότερα. Θα έδινα και τις 2 μονάδες εδώ.

Στο επαγωγικό βήμα σωστά λύνεις ως προς $a_{k+1}$ που δείχνει ότι ξέρεις τι κάνεις. Μετά όμως αρχίζουν τα τυπογραφικά. Έχεις σε δύο σημεία. Οι πράξεις είναι εύκολες και το πιο πιθανό είναι να τις έκανες σωστά στο πρόχειρο και να τα αντέγραψες λάθος. Δεν μπορώ όμως να δώσω μονάδες για αυτό. Διότι μπορεί να έγραψες το (k+1)^2

γνωρίζοντας ότι έτσι πρέπει να βγει. Θα έδινα 1.5 από τις 3 μονάδες εδώ.

Σύνολο 3.5 από τα 5. Αν δεν υπήρχαν τα τυπογραφικά και έλειπαν οι πράξεις, θα έδινα 4 από τα 5.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

maiksoul έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2017 12:14 am

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:09 pm

Πρόβλημα 3

Έστω συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

Συνεχής στο

Δύο φορές παραγωγίσιμη στο με $f''(x) > 0, \, \forall x \in (a,b)$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(\rho) =0$ .

$x\in (a,r)$

Καλησπέρα ,λίγο διαφορετικά από τον Σταύρο παραπάνω.

Είναι σαφές ότι η (μη σταθερή μας ) συνάρτηση έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Έστω λοιπόν $\kappa \in \left ( \alpha \right,b )$ ο πρώτος αριθμός που είναι ρίζα της.

Από που προκύπτει ότι υπάρχει η πρώτη ρίζα της;

Δηλαδή αν $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με f(a)f(b)< 0

γιατί υπάρχει $r\in (a,b)$

με f(r)=0

και $f(x)\neq 0$ για $x\in (a,r)$

Δεν ισχυρίζομαι ότι δεν είναι σωστό. Νομίζω όμως ότι ούτε γράφετε κάπου στο σχολικό
ούτε μπορεί να αποδειχθεί με σχολική ύλη.

maiksoul · #10

Καλημέρα Σταύρο . Λόγω κυρτότητας η συνάρτηση εχει το πολύ δύο διαστήματα μονοτονίας ,επομένως το πολύ δύο ρίζες . Με βάση αυτό στο μυαλό μου , χωρίς όμως να το αναφέρω στη λύση , χρησιμοποίησα την έκφραση:" πρώτη ρίζα" , που όμως οπως σωστά λες δεν έχει γενική ισχύ !

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση