Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1816
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2013
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 6η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. (*)
1. Την πρώτη μέρα του σχολείου, στο διάλειμμα, η δασκάλα ξέχασε το τετράδιο προόδου πάνω στην έδρα και τα παιδιά άρχισαν να γράφουν σε αυτό βαθμούς. Κάθε κορίτσι έβαλε 18 Α και κάθε αγόρι 11 Γ. Στο τέλος προέκυψε ότι για κάθε κορίτσι γράφτηκαν 7 βαθμοί και για κάθε αγόρι 21 βαθμοί. Ποιοι ήταν περισσότεροι, τα αγόρια ή τα κορίτσια;
2. 40 αδειούχοι εγκατέλειψαν την Αθήνα. Δυο την 1 Ιουλίου, δύο στις 2 Ιουλίου,…, δυο στις 20 Ιουλίου. Επέστρεψαν τον Αύγουστο. Δυο την 1 Αυγούστου, δυο στις 2 Αυγούστου,…, δυο στις 20 Αυγούστου. Όλοι οι αδειούχοι έφυγαν το μεσημέρι και επέστρεψαν το μεσημέρι. Να αποδείξετε, ότι κάποιοι δυο έλλειψαν τον ίδιο αριθμό ημερών.
3. Ο μανιακός Βασίλης, εξετάζει κατά πόσο μεταβάλλεται το γινόμενο των ψηφίων ενός αριθμού αν αυξηθεί ο αριθμός κατά . Έχοντας αυτό στο μυαλό για κάθε αριθμό από το έως το κατέγραψε στο τετράδιο αυτή την μεταβολή (π.χ. για τον αριθμό κατέγραψε το και για τον αριθμό κατέγραψε την αρνητική μεταβολή ). Με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που κατέγραψε στο τετράδιο ο Βασίλης;
4. Οι εκατομμυριούχοι Βασίλης, Πέτρος και Κώστας έχουν στα πορτοφόλια τους μόνο νομίσματα των X ευρώ και νομίσματα των Y σεντς (τα X και Y είναι φυσικοί αριθμοί, ). Για την καινούργια του Lamborghini ο Βασίλης έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα και έλαβε ως ρέστα ένα κουτί σπίρτα αξίας 1 σεντ. Ο Πέτρος κι αυτός, για την ίδια Lamborghini έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα αλλά σαν ρέστα του έδωσαν ένα αυτοκίνητο Yugo. Στον τυχερό Κώστα για ένα εκατομμύριο νομίσματα του έδωσαν μια Lamborghini και δυο Yugo! Να βρείτε τα X και Y.
Καταληκτική αίθουσα (**)
5. Για την παρασκευή κόλας (αναψυκτικού) χρειάζεται η γνώση 20 χημικών ενώσεων. Κάθε υπάλληλος της εταιρίας γνωρίζει 5 ενώσεις. Εξάλλου οι υπάλληλοι είναι αρκετοί τον αριθμό, ώστε κάθε δυνατή πεντάδα ενώσεων να είναι γνωστή σε κάποιον υπάλληλο. Ζητείται να χωρίσουμε τους υπαλλήλους σε μερικά τμήματα έτσι, ώστε κανένα από μόνο του να μην μπορεί να παρασκευάσει την κόλα (δηλαδή οι υπάλληλοι του τμήματος να μην γνωρίζουν όλες τις χημικές ενώσεις). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός τμημάτων που χρειάζεται να χωρισθεί η εταιρία;
6. Από τετράγωνο διαστάσεων αποκόπηκαν μερικά κελιά, που δεν συνορεύουν ούτε κατά πλευρά ούτε κατά γωνιά (κορυφή). Ο Μιχάλης θέλει να αποκόψει από το εναπομείναν κομμάτι μια «γωνία» 3 κελιών. Ο Μιχάλης υπολόγισε όλους τους τρόπους το πώς μπορεί αυτό να γίνει και βρήκε ακριβώς 48000 τρόπους. Να αποδείξετε, ότι άφησε λάθος.
(*) Η τελική φάση της ολυμπιάδας είναι προφορική.
(**) Όσοι έλυσαν τρια από τα τέσσερα αρχικά προβλήματα καλέστηκαν να λύσουν άλλα δυο σε διαφορετική αίθουσα. Ο επιπλέον χρόνος που δίνεται είναι μια ώρα.
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 6η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. (*)
1. Την πρώτη μέρα του σχολείου, στο διάλειμμα, η δασκάλα ξέχασε το τετράδιο προόδου πάνω στην έδρα και τα παιδιά άρχισαν να γράφουν σε αυτό βαθμούς. Κάθε κορίτσι έβαλε 18 Α και κάθε αγόρι 11 Γ. Στο τέλος προέκυψε ότι για κάθε κορίτσι γράφτηκαν 7 βαθμοί και για κάθε αγόρι 21 βαθμοί. Ποιοι ήταν περισσότεροι, τα αγόρια ή τα κορίτσια;
2. 40 αδειούχοι εγκατέλειψαν την Αθήνα. Δυο την 1 Ιουλίου, δύο στις 2 Ιουλίου,…, δυο στις 20 Ιουλίου. Επέστρεψαν τον Αύγουστο. Δυο την 1 Αυγούστου, δυο στις 2 Αυγούστου,…, δυο στις 20 Αυγούστου. Όλοι οι αδειούχοι έφυγαν το μεσημέρι και επέστρεψαν το μεσημέρι. Να αποδείξετε, ότι κάποιοι δυο έλλειψαν τον ίδιο αριθμό ημερών.
3. Ο μανιακός Βασίλης, εξετάζει κατά πόσο μεταβάλλεται το γινόμενο των ψηφίων ενός αριθμού αν αυξηθεί ο αριθμός κατά . Έχοντας αυτό στο μυαλό για κάθε αριθμό από το έως το κατέγραψε στο τετράδιο αυτή την μεταβολή (π.χ. για τον αριθμό κατέγραψε το και για τον αριθμό κατέγραψε την αρνητική μεταβολή ). Με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που κατέγραψε στο τετράδιο ο Βασίλης;
4. Οι εκατομμυριούχοι Βασίλης, Πέτρος και Κώστας έχουν στα πορτοφόλια τους μόνο νομίσματα των X ευρώ και νομίσματα των Y σεντς (τα X και Y είναι φυσικοί αριθμοί, ). Για την καινούργια του Lamborghini ο Βασίλης έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα και έλαβε ως ρέστα ένα κουτί σπίρτα αξίας 1 σεντ. Ο Πέτρος κι αυτός, για την ίδια Lamborghini έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα αλλά σαν ρέστα του έδωσαν ένα αυτοκίνητο Yugo. Στον τυχερό Κώστα για ένα εκατομμύριο νομίσματα του έδωσαν μια Lamborghini και δυο Yugo! Να βρείτε τα X και Y.
Καταληκτική αίθουσα (**)
5. Για την παρασκευή κόλας (αναψυκτικού) χρειάζεται η γνώση 20 χημικών ενώσεων. Κάθε υπάλληλος της εταιρίας γνωρίζει 5 ενώσεις. Εξάλλου οι υπάλληλοι είναι αρκετοί τον αριθμό, ώστε κάθε δυνατή πεντάδα ενώσεων να είναι γνωστή σε κάποιον υπάλληλο. Ζητείται να χωρίσουμε τους υπαλλήλους σε μερικά τμήματα έτσι, ώστε κανένα από μόνο του να μην μπορεί να παρασκευάσει την κόλα (δηλαδή οι υπάλληλοι του τμήματος να μην γνωρίζουν όλες τις χημικές ενώσεις). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός τμημάτων που χρειάζεται να χωρισθεί η εταιρία;
6. Από τετράγωνο διαστάσεων αποκόπηκαν μερικά κελιά, που δεν συνορεύουν ούτε κατά πλευρά ούτε κατά γωνιά (κορυφή). Ο Μιχάλης θέλει να αποκόψει από το εναπομείναν κομμάτι μια «γωνία» 3 κελιών. Ο Μιχάλης υπολόγισε όλους τους τρόπους το πώς μπορεί αυτό να γίνει και βρήκε ακριβώς 48000 τρόπους. Να αποδείξετε, ότι άφησε λάθος.
(*) Η τελική φάση της ολυμπιάδας είναι προφορική.
(**) Όσοι έλυσαν τρια από τα τέσσερα αρχικά προβλήματα καλέστηκαν να λύσουν άλλα δυο σε διαφορετική αίθουσα. Ο επιπλέον χρόνος που δίνεται είναι μια ώρα.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Οκτ 09, 2022 7:21 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
2
Αριθμούμε τις μέρες από την 1η Ιουλίου μέχρι και την 20η Αυγούστου με τους αριθμούς:
Οι μέρες που μπορούν να φύγουν είναι οι
Ενώ αυτές που μπορούν να γυρίσουν είναι οι
Το μέγιστο πλήθος ημερών που μπορεί να λείπει κάποιος είναι μέρες
ενώ το ελάχιστο μέρες.
Όμως οπότε μπορούν να υπάρχουν το πολύ άτομα που λείπουν διαφορετικές σε πλήθος μέρες οπότε
θα υπάρχει ένα ζεύγος ανθρώπων που θα λείψουν τις ίδιες σε πλήθος μέρες.
Αριθμούμε τις μέρες από την 1η Ιουλίου μέχρι και την 20η Αυγούστου με τους αριθμούς:
Οι μέρες που μπορούν να φύγουν είναι οι
Ενώ αυτές που μπορούν να γυρίσουν είναι οι
Το μέγιστο πλήθος ημερών που μπορεί να λείπει κάποιος είναι μέρες
ενώ το ελάχιστο μέρες.
Όμως οπότε μπορούν να υπάρχουν το πολύ άτομα που λείπουν διαφορετικές σε πλήθος μέρες οπότε
θα υπάρχει ένα ζεύγος ανθρώπων που θα λείψουν τις ίδιες σε πλήθος μέρες.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
5
Δεν είμαι σίγουρος αλλά θα κάνω μία προσπάθεια.
Έστω τα τμήματα αυτά και τα στοιχεία.
Θεωρούμε μία καλή τοποθέτηση. Στην συνέχεια, θα προσπαθήσουμε να μεγιστοποιήσουμε το πλήθος των χημικών
που μπορούν να "χωρέσουν" σε κάθε τμήμα. Θεωρούμε επίσης την πεντάδα στοιχείων που
γνωρίζει ο i-οστός χημικός.
Έστω ότι η δεν γνωρίζει το στοιχείο . Τότε τοποθετούμε όλους τους χημικούς από άλλα τμήματα που
έχουν πεντάδα της μορφής με στην για να ελαχιστοποιήσουμε τα άτομα που απομένουν
τα οποία έχουν την μορφή: . Όμοια υποθέτουμε ότι η δεν ξέρει το στοιχείο και με
όμοιο τρόπο τοποθετούμε τους χημικούς της μορφής με
οπότε απομένουν οι χημικοί της μορφής: .
Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία, καταλήγουμε στον χημικό ο οποίος θα τοποθετηθεί
στο έκτο και τελευταίο τμήμα οπότε είναι η ελάχιστη τιμή των τμημάτων.
Δεν μας συμφέρει να μην ξέρει μία ομάδα παραπάνω από ένα στοιχείο καθώς απομένουν παραπάνω χημικοί.
Δεν είμαι σίγουρος αλλά θα κάνω μία προσπάθεια.
Έστω τα τμήματα αυτά και τα στοιχεία.
Θεωρούμε μία καλή τοποθέτηση. Στην συνέχεια, θα προσπαθήσουμε να μεγιστοποιήσουμε το πλήθος των χημικών
που μπορούν να "χωρέσουν" σε κάθε τμήμα. Θεωρούμε επίσης την πεντάδα στοιχείων που
γνωρίζει ο i-οστός χημικός.
Έστω ότι η δεν γνωρίζει το στοιχείο . Τότε τοποθετούμε όλους τους χημικούς από άλλα τμήματα που
έχουν πεντάδα της μορφής με στην για να ελαχιστοποιήσουμε τα άτομα που απομένουν
τα οποία έχουν την μορφή: . Όμοια υποθέτουμε ότι η δεν ξέρει το στοιχείο και με
όμοιο τρόπο τοποθετούμε τους χημικούς της μορφής με
οπότε απομένουν οι χημικοί της μορφής: .
Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία, καταλήγουμε στον χημικό ο οποίος θα τοποθετηθεί
στο έκτο και τελευταίο τμήμα οπότε είναι η ελάχιστη τιμή των τμημάτων.
Δεν μας συμφέρει να μην ξέρει μία ομάδα παραπάνω από ένα στοιχείο καθώς απομένουν παραπάνω χημικοί.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
6
Έστω το πλήθος των κελιών που αφαιρεί τα οποία δεν συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, το πλήθος
των κελιών που αφαιρεί τα οποία συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου αλλά δεν είναι γωνιακά και
το πλήθος των κελιών που αφαιρεί και είναι γωνιακά. Αρχικά το πλήθος των ντόμινο που μπορούν να τοποθετηθούν στο
τετράγωνο πριν αφαιρέσουμε κελιά είναι τετραπλάσιο από τα τετράγωνα που χωράνε στο άρα
. Στην συνέχεια για κάθε κελί της μορφής που αφαιρούμε, μειώνουμε κατά τους τρόπους
τοποθέτησης, για κάθε κελί της μορφής , μειώνουμε κατά τους τρόπους τοποθέτησης ενώ για κάθε κελί της
μορφής μειώνουμε τους τρόπους κατά . Οπότε θα πρέπει να ισχύει ότι:
για κάποια όμως ενώ
καταλήγοντας σε άτοπο.
Έστω το πλήθος των κελιών που αφαιρεί τα οποία δεν συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, το πλήθος
των κελιών που αφαιρεί τα οποία συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου αλλά δεν είναι γωνιακά και
το πλήθος των κελιών που αφαιρεί και είναι γωνιακά. Αρχικά το πλήθος των ντόμινο που μπορούν να τοποθετηθούν στο
τετράγωνο πριν αφαιρέσουμε κελιά είναι τετραπλάσιο από τα τετράγωνα που χωράνε στο άρα
. Στην συνέχεια για κάθε κελί της μορφής που αφαιρούμε, μειώνουμε κατά τους τρόπους
τοποθέτησης, για κάθε κελί της μορφής , μειώνουμε κατά τους τρόπους τοποθέτησης ενώ για κάθε κελί της
μορφής μειώνουμε τους τρόπους κατά . Οπότε θα πρέπει να ισχύει ότι:
για κάποια όμως ενώ
καταλήγοντας σε άτοπο.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1816
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
Απλά ίσως θα ταν καλύτερο πιό αναλυτική λύση και πιο κοντά στο "λεξιλόγιο" του μέσου μαθητή Α' γυμνασίου.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:6
Έστω το πλήθος των κελιών που αφαιρεί τα οποία δεν συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, το πλήθος
των κελιών που αφαιρεί τα οποία συνορεύουν με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου αλλά δεν είναι γωνιακά και
το πλήθος των κελιών που αφαιρεί και είναι γωνιακά. Αρχικά το πλήθος των ντόμινο που μπορούν να τοποθετηθούν στο
τετράγωνο πριν αφαιρέσουμε κελιά είναι τετραπλάσιο από τα τετράγωνα που χωράνε στο άρα
. Στην συνέχεια για κάθε κελί της μορφής που αφαιρούμε, μειώνουμε κατά τους τρόπους
τοποθέτησης, για κάθε κελί της μορφής , μειώνουμε κατά τους τρόπους τοποθέτησης ενώ για κάθε κελί της
μορφής μειώνουμε τους τρόπους κατά . Οπότε θα πρέπει να ισχύει ότι:
για κάποια όμως ενώ
καταλήγοντας σε άτοπο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
Ας καταγράψουμε για κάθε ένα από τους αριθμούς το γινόμενο των ψηφίων του. Έστω το άθροισμα όλων αυτών των γινομένων.Al.Koutsouridis έγραψε: 3. Ο μανιακός Βασίλης, εξετάζει κατά πόσο μεταβάλλεται το γινόμενο των ψηφίων ενός αριθμού αν αυξηθεί ο αριθμός κατά . Έχοντας αυτό στο μυαλό για κάθε αριθμό από το έως το κατέγραψε στο τετράδιο αυτή την μεταβολή (π.χ. για τον αριθμό κατέγραψε το και για τον αριθμό κατέγραψε την αρνητική μεταβολή ). Με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που κατέγραψε στο τετράδιο ο Βασίλης;
Έστω επίσης το άθροισμα των γινομένων των ψηφίων των αριθμών .
Τότε το ζητούμενο άθροισμα ισούται με .
Οι μόνοι αριθμοί που συνεισφέρουν στο και όχι στο είναι οι . Δηλαδή οι . Η συνολική συνεισφορά αυτών των αριθμών στο είναι .
Οι μόνοι αριθμοί που συνεισφέρουν στο και όχι στο είναι οι . Δηλαδή οι . Η συνολική συνεισφορά αυτών των αριθμών στο είναι .
Άρα το άθροισμα των αριθμών του Βασίλη ισούται με .
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2013
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 6η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. (*)
4. Οι εκατομμυριούχοι Βασίλης, Πέτρος και Κώστας έχουν στα πορτοφόλια τους μόνο νομίσματα των X ευρώ και νομίσματα των Y σεντς (τα X και Y είναι φυσικοί αριθμοί, ). Για την καινούργια του Lamborghini ο Βασίλης έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα και έλαβε ως ρέστα ένα κουτί σπίρτα αξίας 1 σεντ. Ο Πέτρος κι αυτός, για την ίδια Lamborghini έδωσε ένα εκατομμύριο νομίσματα αλλά σαν ρέστα του έδωσαν ένα αυτοκίνητο Yugo. Στον τυχερό Κώστα για ένα εκατομμύριο νομίσματα του έδωσαν μια Lamborghini και δυο Yugo! Να βρείτε τα X και Y.
Ας ονομάσουμε G την αξία ενός Yugo και L την αξία μιας Lamborghini σε σεντς και
τα νομίσματα των Y σεντς που έδωσαν ο Βασίλης, ο Πέτρος και ο Κώστας αντίστοιχα.
Ο Βασίλης έδωσε νομίσματα των Υ σεντς οπότε θα έδωσε νομίσματα των X ευρώ.
Έτσι, προκύπτει η εξίσωση: .
Ομοίως για τον Πέτρο έχουμε:
και για τον Κώστα: .
Αφαιρώντας τις σχέσεις μεταξύ τους έχουμε:
και που αν τις αφαιρέσουμε και αυτές μεταξύ τους βρίσκουμε .
Άρα, ή .
Αφού (από τα δεδομένα) , βρίσκουμε: σεντς και ευρώ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2013 (ΦΙΙ τάξη 6)
Ωραία ασκησούλα, ότι πρέπει για εισαγωγική άσκηση σε έναν διαγωνισμό με πρωτότυπα θέματα.Al.Koutsouridis έγραψε: 1. Την πρώτη μέρα του σχολείου, στο διάλειμμα, η δασκάλα ξέχασε το τετράδιο προόδου πάνω στην έδρα και τα παιδιά άρχισαν να γράφουν σε αυτό βαθμούς. Κάθε κορίτσι έβαλε 18 Α και κάθε αγόρι 11 Γ. Στο τέλος προέκυψε ότι για κάθε κορίτσι γράφτηκαν 7 βαθμοί και για κάθε αγόρι 21 βαθμοί. Ποιοι ήταν περισσότεροι, τα αγόρια ή τα κορίτσια;
Αν το πλήθος των κοριστιών και των αγοριών, τότε μετρώντας με δύο διαφορετικούς τρόπους το σύνολο των γραμμένων βαθμών προκύπτει ότι . Άρα , οπότε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες