ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5322
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:35 am

Καλημέρα !!!

Αυτά είναι τα θέματα ΕΥΚΛΕΙΔΗ 2017. Γράψτε τις ωραίες και αναλυτικές λύσεις σας !

Καλά αποτελέσματα και καλή αντάμωση στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ !!!
Συνημμένα
ΘΕΜΑΡΤΑ EYKLEIDHS 2017_f.pdf
(327.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 3034 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2624
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:41 am

ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Για x\geq 0 η δοθείσα γίνεται x^2-9=0 με λύσεις x=\pm 3, από τις oποίες δεκτή γίνεται η x=3.

Για x<0, η δοθείσα γίνεται x^2+8x-9=0 με λύσεις x=1 ή x=-9, από τις oποίες δεκτή γίνεται η x=-9.

(Σχόλιο: αυτό είναι κατάλληλο Θέμα για το διαγωνισμό ΕΥΚΛΕΙΔΗ?)

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2624
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 9:45 am

ΘΕΜΑ 1- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα γράφεται

(x^2-16)^2=\dfrac{4|x+2|}{|x+2|^2+2^2}-1=-\dfrac{(|x+2|-2)^2}{|x+2|^2+2^2}\leq 0

Αναγκαστικά πρέπει x^2=16 και |x+2|=2, δηλαδή x=-4

Φιλικά,

Αχιλλέας


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1035
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:21 am

Καλημέρα. Το αρχείο είναι σε pdf? Δεν μπορώ να το ανοίξω απο το κινητό ..Ευχαριστώ

Οκ... Ευχαριστώ Μιχάλη....Γιωργο... Σταυρο.... :)
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Σάβ Ιαν 28, 2017 11:01 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:33 am

Καλημέρα και καλή επιτυχία στα παιδιά!

Β' Λυκείου - Πρόβλημα 3
B-lykeiou-Problem3.png
B-lykeiou-Problem3.png (40.8 KiB) Προβλήθηκε 12300 φορές
Προφανώς {\rm O}{\rm M} \bot {\rm A}\Gamma, {\rm Z}{\rm M}{\rm O}{\rm K} εγγράψιμο και {\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma  = {\rm A}\widehat {\rm O}{\rm M}

Έτσι το \Delta {\rm Z}\Gamma {\rm B} είναι εγγράψιμο, οπότε {\rm A}\Delta  \cdot {\rm A}{\rm B} = {\rm A}{\rm Z} \cdot {\rm A}\Gamma  \Leftrightarrow 2{\rm A}{\rm E} \cdot {\rm A}{\rm B} = {\rm A}{\rm Z} \cdot 2{\rm A}{\rm M} \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E}{\rm Z}{\rm M} εγγράψιμο
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5322
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:40 am

eykleides2017-b.lyk.PNG
eykleides2017-b.lyk.PNG (22.52 KiB) Προβλήθηκε 12283 φορές
Β' ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μια λύση από το συνάδελφο Θανάση Μπεληγιάννη( στο εξεταστικό κέντρο)

Με απλές σχέσεις γωνιών(θα τις συμπληρώσουμε αργότερα) προκύπτει ότι το BDZC είναι εγγράψιμο (η γωνία ADZ είναι ίσh με C).


Επομένως :

AD\cdot AB=AZ\cdot AC , δηλαδή 2AE\cdot AB=AZ\cdot (2AM) και τελικά : AE\cdot AB=AZ\cdot AM

To συμπέρασμα είναι προφανές !

(Μιχάλη, έβαλες τη λύση την ώρα που εγώ την έγραφα.Την αφήνω για να φαίνεται η κοινή πορεία των ...μαθηματικών)


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 941
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:48 am

ΘΕΜΑ 2 -Β' Λυκείου

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

(x_{1}+1) + (x_{2}+1) + ... + (x_{2017}+1) = 0

(x_{1}^4+x_{1}^3) + (x_{2}^4+x_{2}^3)+...+(x_{2017}^4+x_{2017}^3) = 0

προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε

(x_{1}^4+x_{1}^3 + x_{1}+1)  + (x_{2}^4+x_{2}^3 + x_{2}+1)+ ... +(x_{2017}^4+x_{2017}^3 + x_{2017}+1) = 0

για καθέ όρο του παραπάνω αθροίσματος έχουμε

(x_{i}^4+x_{i}^3 + x_{i}+1) = x_{i}^3(x_{i}+1) +(x_{i}+1) = (x_{i}^3+1)(x_{i}+1) =

(x_{i}+1)(x_{i}+1)(x_{i}^2-x_{i}+1) = (x_{i}+1)^2(x_{i}^2-x_{i}+1) \geq 0

με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x_{i} = -1 , i=1,2...,2017

Οπότε η λύση του συστήματος είναι x_{1}=x_{2}= ... =x_{2017} = -1


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2624
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 10:50 am

ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Η δοθείσα δίνει

(a+b+c)^2=9(11a+b).

Συνεπώς, το άθροισμα των ψηφίων του \overline{abc} διαιρείται από το 3, κι άρα ο αριθμός είναι πολ/σιο του 3.

Προφανώς, 11a+b\geq 11\cdot 1+0=11, οπότε (a+b+c)^2\geq 99, κι άρα a+b+c\geq 10.

Το πρώτο πολ/σιο του 3, μετά το 10 είναι a+b+c=12.

Παρατηρούμε ότι (a+b+c)^2+a+b+c=12^2+12=156 και 1+5+6=12, οπότε ο 156 είναι μια λύση.

Στη χειρότερη περίπτωση, κάποιος μπορεί να δοκιμάσει και τα πέντε πολλαπλάσια του 3 από το 15 έως το 9+9+9=27, δηλ. τους 15, 18, 21, 24, 27 για να δείξει ότι αυτή είναι και η μοναδική λύση.

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2624
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:09 am

ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Έστω ότι ο Α εκτελεί x έργο ανά μια ώρα, κι έστω ότι ο Β εκτελεί y έργο ανά μια ώρα.

Αφού σε τρεις ώρες εκτελούν 11/20 του έργου, έχουμε 3x+2y=\dfrac{11}{20}.

Έστω ότι ολοκληρώνουν το έργο σε k ώρες από την έναρξη του B. Τότε

(k+1)x=ky=\dfrac{1}{2}.

Έτσι \dfrac{3}{2(k+1)}+\dfrac{2}{2k}=\dfrac{11}{20}.

Εύκολα βρίσκουμε ότι η θετiκή λύση αυτής της εξίσωσης είναι k=4.

Άρα, ο A ολοκληρώνει το μισό έργο σε 5 ώρες, ενώ ο B σε 4 ώρες.

Συνεπώς, ο A ολοκληρώνει το έργο σε 10 ώρες, ενώ ο B σε 8 ώρες.

Επεξεργασία: Ευχαριστώ το μαθητή Ιωάννη Μπέλλο από τη Λάρισα για τη διόρθωση. Από βιαστική ανάγνωση της εκφώνησης, στην αρχική ανάρτηση υπέθεσα οτι ο Α κι ο Β είχαν ήδη εκτελέσει το 9/10 του έργου. Ευτυχώς, μικρό το κακό! :)


Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Ιαν 28, 2017 1:04 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5322
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:13 am

Al.Koutsouridis έγραψε:ΘΕΜΑ 2 -Β' Λυκείου

Τ..................

για καθέ όρο του παραπάνω αθροίσματος έχουμε

(x_{i}^4+x_{i}^3 + x_{i}+1) = x_{i}^3(x_{i}+1) +(x_{i}+1) = (x_{i}^3+1)(x_{i}+1) =

(x_{i}+1)(x_{i}+1)(x_{i}^2-x_{i}+1) = (x_{i}+1)^2(x_{i}^2-x_{i}+1) \geq 0

με την ισότητα να ισχύει μόνο αν x_{i} = -1 , i=1,2...,2017

Οπότε η λύση του συστήματος είναι x_{1}=x_{2}= ... =x_{2017} = -1
Υπέροχα !

Την ίδια ακριβώς λύση μου έδωσε σε μια επίσκεψη στο γραφείο η επιτηρήτρια στο διαγωνισμό συνάδελφος Γιάννα Στεργίου.

Για να βλέπετε τι ...τραβάνε οι επιτηρητές .Ούτε να ξανάδιναν στο ΑΣΕΠ δεν θα είχαν τόση ...δουλειά !!!


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3907
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:31 am

4ο Γ Λυκείου

α) Για x=0 παίρνουμε f(0)=0

x=y=\dfrac{1}{2} παίρνουμε

f\left(f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right)=1 και επιλέγουμε ως a=f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}

β) Θέτουμε όπου y τo a και παίρνουμε f(2x(a+1))=4ax για κάθε x\in\mathbb{R}

Επειδή a\neq -1 (διότι διαφορετικά θα παίρναμε από την παραπάνω ότι 0=-4x για κάθε x\in\mathbb{R})

άρα θέτοντας στην παραπάνω όπου x το \dfrac{x}{2(a+1)} παίρνουμε f(x)=\dfrac{2ax}{a+1} δηλαδή (αν k=\dfrac{2a}{a+1}) η συνάρτηση είναι της μορφής f(x)=kx.

Επαληθεύοντας για να δούμε ποιες από τις παραπάνω είναι δεκτές, παίρνουμε τελικά k=1 ή k=-2 οπότε τελικά οι δεκτές συναρτήσεις είναι οι f(x)=x και f(x)=-2x.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2624
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:34 am

ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Έστω K το σημείο τομής των A\Gamma και B\Delta.

Έστω E το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών B και \Gamma.

Παρατηρούμε ότι \angle BE\Gamma=60^\circ.

Αρκεί να δείξουμε ότι \angle BEA+\angle \Delta E\Gamma=120^\circ.

Οι γωνίες οξείες \angle BEK και B\Gamma K έχουν κάθετες τις πλευρές (K ορθόκεντρο του τριγώνουBE\Gamma) κι άρα είναι ίσες.

Συνεπώς, από το ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma, έχουμε \angle BAK=\angle B\Gamma K=\angle BEK, κι άρα το τετράπλευρο ABKE είναι εγγράψιμο.

Ομοίως, το τετράπλευρο \Delta\Gamma KEείναι εγγράψιμο.

Αλλιώς, με κυνήγι γωνιών, βρίσκουμε \angle BEA=\angle BKA και \angle \Delta E\Gamma=\angle \Delta K\Gamma.

Συνεπώς, \angle BEA+\angle \Delta E\Gamma=120^\circ, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
euclid_2017.png
euclid_2017.png (39.87 KiB) Προβλήθηκε 12028 φορές


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 790
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:44 am

Πως σας φάνηκαν τα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου; Τα απάντησα όλα, αλλά δυσκολεύτηκα αρκετά...


Houston, we have a problem!
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 345
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:53 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Πως σας φάνηκαν τα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου; Τα απάντησα όλα, αλλά δυσκολεύτηκα αρκετά...
Νομίζω βατά για δουλεμένα παιδιά...τα 3 πρώτα λογικά θα τα γράψουν "ανώδυνα"... Το τέταρτο αν κάποιος γνωρίζει σχετικά καλή φυσική ( :lol: :lol: ) νομίζω θα το βγάλει και αυτό χωρίς να ζοριστεί πολύ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6561
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 28, 2017 11:59 am

Πρόβλημα 3 Α Λυκείου


Έστω δύο ίσα ημικύκλια, προς το ίδιο ημιεπίπεδο, κέντρων B,C και διαμέτρων

\overline {KBC} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {BCL} που τέμνονται στο E. Προφανώς το τρίγωνο

EKL \to (120^\circ ,30^\circ ,30^\circ ). Στο αριστερό ημικύκλιο έστω το σημείο A και στο δεξιό το

σημείο B έτσι ώστε B + C = 240^\circ Ας πούμε δε B = 2\theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C = 2\omega.

Επειδή x = \dfrac{1}{2}\widehat {ABK} = \dfrac{1}{2}(180^\circ  - 2\theta ) = 90^\circ  - \theta και ομοίως y = 90^\circ  - \omega θα είναι

x + 120^\circ  + y = 120^\circ  + 90^\circ  - \theta  + 90^\circ  - y = 180^\circ τα σημεία A,E,D ανήκουν στην ίδια

Ευθεία , δηλαδή το τετράπλευρο ABCD είναι αυτό της εκφώνησης.
Ευκλείδης_77_Α_Λυκείου.png
Ευκλείδης_77_Α_Λυκείου.png (42.26 KiB) Προβλήθηκε 11950 φορές
Φέρνω τη διχοτόμο της γωνίας \widehat {ABC} = 2\theta που τέμνει την AD στο S.

Επειδή \widehat {EDB} = \widehat L = 30^\circ και

\widehat {SBD} = \widehat {SBC} - \widehat {DBL} = \theta  - y = \theta  - 90^\circ  + \omega  = 120^\circ  - 90^\circ  = 30^\circ θα είναι SB = SD και

αφού CB = CD η CS είναι διχοτόμος της \widehat {BCD}.

Νίκος


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5322
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:03 pm

cretanman έγραψε:4ο Γ Λυκείου

α) Για x=0 παίρνουμε f(0)=0

x=y=\dfrac{1}{2} παίρνουμε

f\left(f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right)=1 και επιλέγουμε ως a=f\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}

β) Θέτουμε όπου y τo a και παίρνουμε f(2x(a+1))=4ax για κάθε x\in\mathbb{R}

Επειδή a\neq -1 (διότι διαφορετικά θα παίρναμε από την παραπάνω ότι 0=-4x για κάθε x\in\mathbb{R})

άρα θέτοντας στην παραπάνω όπου x το \dfrac{x}{2(a+1)} παίρνουμε f(x)=\dfrac{2ax}{a+1} δηλαδή (αν k=\dfrac{2a}{a+1}) η συνάρτηση είναι της μορφής f(x)=kx.

Επαληθεύοντας για να δούμε ποιες από τις παραπάνω είναι δεκτές, παίρνουμε τελικά k=1 ή k=-2 οπότε τελικά οι δεκτές συναρτήσεις είναι οι f(x)=x και f(x)=-2x.

Αλέξανδρος
Αλέξανδρε, την ίδια ακριβώς λύση κάναμε με το Νίκο Ραβανό εδώ στο ΕΚ. Φαίνεται πως όλα τα κέντρα έχουν ...τηλεπαθητική επικοινωνία !!! Καλό Αρχιμήδη πια !


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3907
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:04 pm

4ο της Β Λυκείου

Οι αριθμοί a+\dfrac{1}{b} και b+\dfrac{1}{a} είναι ακέραιοι άρα o αριθμός \left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)=ab+\dfrac{1}{ab}+2 είναι ακέραιος άρα ο αριθμός ab+\dfrac{1}{ab} είναι ακέραιος.

Έστω ab=\dfrac{k}{l} όπου (k,l)=1 και \dfrac{k^2+l^2}{kl}\in\mathbb{Z} και αφού k|kl και kl|k^2+l^2 άρα k|l^2 κι έτσι αφού (k,l)=1 άρα k=1. Όμοια l=1.

Κι έτσι ab=1 οπότε οι αρχικοί αριθμοί είναι οι 2a και 2b οι οποίοι πρέπει να είναι ακέραιοι άρα a=\dfrac{m}{2} και b=\dfrac{n}{2} για m,n\in\mathbb{N} κι έτσι (αφού ab=1) άρα mn=4 οπότε (m,n)=(1,4), \ (2,2), \ (4,1) κι έτσι (a,b)=\left(\dfrac{1}{2},2\right), (1,1) \left(2,\dfrac{1}{2}\right)

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:29 pm

cretanman έγραψε:4ο της Β Λυκείου

Οι αριθμοί a+\dfrac{1}{b} και b+\dfrac{1}{a} είναι ακέραιοι άρα o αριθμός \left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)=ab+\dfrac{1}{ab}+2 είναι ακέραιος άρα ο αριθμός ab+\dfrac{1}{ab} είναι ακέραιος.

Έστω ab=\dfrac{k}{l} όπου (k,l)=1 και \dfrac{k^2+l^2}{kl}\in\mathbb{Z} και αφού k|kl και kl|k^2+l^2 άρα k|l^2 κι έτσι αφού (k,l)=1 άρα k=1. Όμοια l=1.

Κι έτσι ab=1 οπότε οι αρχικοί αριθμοί είναι οι 2a και 2b οι οποίοι πρέπει να είναι ακέραιοι άρα a=\dfrac{m}{2} και b=\dfrac{n}{2} για m,n\in\mathbb{N} κι έτσι (αφού ab=1) άρα mn=4 οπότε (m,n)=(1,4), \ (2,2), \ (4,1) κι έτσι (a,b)=\left(\dfrac{1}{2},2\right), (1,1) \left(2,\dfrac{1}{2}\right)

Αλέξανδρος
Δεν ισχύει και για κάθε (a,b)=(\frac{x}{y},-\frac{y}{x}) όπου x,y μη μηδενικοί ακέραιοι;


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3907
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:38 pm

Friedoon έγραψε:Δεν ισχύει και για κάθε (a,b)=(\frac{x}{y},-\frac{y}{x}) όπου x,y μη μηδενικοί ακέραιοι;
Η εκφώνηση λέει ότι οι a,b είναι θετικοί ρητοί.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6561
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 28, 2017 12:42 pm


Πρόβλημα 3 Β Λυκείου


Γράφω τον κύκλο (B,M,E) που τέμνει την AC στο Z και θα δείξω ότι DZ \bot AC.

Είναι \boxed{AZ \cdot \frac{b}{2} = AE \cdot c = \frac{1}{2}AD \cdot c \Rightarrow \frac{{AZ}}{{AD}} = \frac{c}{b}} άρα \vartriangle ABC \approx \vartriangle AZD \Rightarrow \boxed{\widehat {ADZ} = \widehat C}

Αν φέρουμε την εφαπτομένη στο A του κύκλου (A,B,C) το ζητούμενο εμφανές.
Ευκλείδης_77_Β_Λυκείου.png
Ευκλείδης_77_Β_Λυκείου.png (37.72 KiB) Προβλήθηκε 11680 φορές
Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιαν 28, 2017 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης