Προκριματικός Διαγωνισμός 2020

#1

: 2020.PNG (111.45 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές

Ιωάννης Μελισσουργός · #2

Για το 1ο
Έστω P(x, y, z)

η δοσμένη σχέση. Τότε έχουμε:

$P(1, 1, 1): 3f(f(1))=1+1+1 \Rightarrow f(f(1))=1$

$P(f(1), f(1), f(1)): 3f(f(1)\cdotf(f(1))) = 3f^2(1) \Rightarrow 3f(f(1))=3f^2(1) \Longrightarrow$

$\Longrightarrow f^2(1)=1 \stackrel{f(1)>0}{\Longrightarrow} \boxed{f(1)=1}$

Άρα είναι:

$P(x, 1, 1): f(x)+1+f(f(x)) = x+1+x \Rightarrow \boxed{f(f(x))+f(x)= 2x\ \forall x\in\mathbb{R_{+}}}$ (1)

Επίσης έχουμε:

$P(x, x, x): 3f(xf(x))=3x^2 \Rightarrow \boxed{f(xf(x))=x^2\ \forall x\in\mathbb{R_{+}}}$ (2)

$P(x, y, x): f(xf(y))+f(y(f(x))+f(xf(x))=xy+yx+x^2 \Rightarrow \boxed{f(xf(y))+f(yf(x))=2xy\ \forall x,y\in\mathbb{R_{+}}}$ (3)

Τέλος είναι:

$P(x, y, 1): f(xf(y))+f(y)+f(f(x))=xy+x+y \Longrightarrow$

$\stackrel{(3)}{\Longrightarrow} 2xy-f(yf(x))+f(y)+f(f(x))=xy+x+y\ \forall x,y\in\mathbb{R_{+}}$

Θέτουμε στην παραπάνω όπου

το

. Έχουμε:

$2xf(f(x)) -f(f(x)f(f(x)))+f(f(f(x)))+f(f(x))=xf(f(x))+x+f(f(x)) \Longrightarrow$

$\stackrel{(1),(2)}{\Longrightarrow} x(2x-f(x))-f^2(x)+(2f(x)-f(f(x)))=x \Longrightarrow$

$\Longrightarrow 2x^2-xf(x)-f^2(x)+2f(x)-2x+f(x)=x \Longrightarrow$

$\Longrightarrow f^2(x)+xf(x)-3f(x)-2x^2+3x=0 \Rightarrow f(x)(f(x)+2x-3)-x(f(x)+2x-3)=0 \Longrightarrow$

$\Longrightarrow (f(x)-x)(f(x)+2x-3)=0\ \forall x\in\mathbb{R_{+}}$

Έστω ότι υπάρχει $z\in\mathbb{R_{+}}$ με $z\neq1$ ώστε $f(z)+2z-3=0\Leftrightarrow f(z)=-2z+3$ . Τότε $-2z+3>0\Leftrightarrow z<\dfrac{3}{2}$

Άρα για κάθε $x\geq\dfrac{3}{2}$ θα ισχύει $f(x)-x=0\Leftrightarrow f(x)=x$

Στην αρχική τότε παίρνουμε $0<z<\dfrac{3}{2}$ ώστε

και $x, y\geq \dfrac{3}{2}$ αρκετά μεγάλα ώστε να ισχύει $zx\geq \dfrac{3}{2}$ και $y(-2z+3)\geq \dfrac{3}{2}$ . Έχουμε λοιπόν:

$P(x, y, z): f(xy)+f(y(-2z+3))+f(zx)=xy+yz+zx \Longrightarrow$

$\Longrightarrow xy+y(-2z+3)+zx=xy+yz+zx \Longrightarrow$

$\Longrightarrow -2z+3=z\Rightarrow 3z=3 \Rightarrow z=1$ πράγμα άτοπο.

Άρα θα πρέπει $\boxed{f(x)=x\ \forall x\in\mathbb{R_{+}}}$

Εύκολα βλέπουμε ότι η παραπάνω συνάρτηση επαληθεύει το πρόβλημα.

Προκριματικός Διαγωνισμός 2020

Προκριματικός Διαγωνισμός 2020

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2020

Μέλη σε σύνδεση