Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2004 (8η/9η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239, Αγίας Πετρούπολης
Θέματα των τάξεων 8η και 9η για το έτος 2004.

1. Δίνεται ένα δευτεροβάθμιο τριώνυμο f(x)=x^2+ax+b

με διαφορετικές θετικές ρίζες. Προέκυψε, ότι μεταξύ των ριζών του πολυώνυμου f(f(x))

υπάρχουν δυο αρνητικές. Να αποδείξετε, ότι οι ρίζες του f(x)

είναι μικρότερες του

. (Σ. Μπέρλοβ)

2. Το ABCD

είναι κυρτό τετράπλευρο, στο οποίο $\angle B = \angle D$ και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

, το ορθόκεντρο

του τριγώνου ADC

και το σημείο

είναι συνευθειακά. Να αποδείξετε ότι το ABCD

είναι παραλληλόγραμμο. (Σ. Μπέρλοβ)

3. Σε ένα πίνακα $n \times n$ είναι τοποθετημένα μερικά πιόνια έτσι, ώστε για κάθε πιόνι όλα τα κελιά, που βρίσκονται δεξιά ή κάτω από αυτό, επίσης είναι κατειλημμένα με πιόνια. Έστω ότι στην

οστή γραμμή από πάνω υπάρχουν $a_{i}$ πιόνια και στην

οστή στήλη από αριστερά $b_{j}$ πιόνια. Να αποδείξετε, ότι οι συλλογές των αριθμών

$a_{1}, a_{2}-1, \ldots a_{n}-n+1$ και $b_{1}, b_{2}-1, \ldots b_{n}-n+1$

συμπίπτουν. (Κ. Κόχας)

4. Το γινόμενο των μη μηδενικών φυσικών αριθμών

και

, είναι κύβος του φυσικού αριθμού

, με $t \neq p$ . Να αποδείξετε, ότι $\left| p^2-q\right| > \dfrac{t^2}{\sqrt[3]{q}}$ .

(Σ. Μπέρλοβ)

5. Σε ένα γράφο

για οποιοδήποτε σύνολο κορυφών του το πλήθος των κορυφών σε αυτό το σύνολο δεν υπερβαίνει το πλήθος των κορυφών, γειτονικών (που συνδέονται με ακμή) τουλάχιστον με μια κορυφή από αυτό το σύνολο. Να αποδείξετε ότι σε αυτόν τον γράφο μπορούμε να πετάξουμε το πολύ το ένα τρίτο των κορυφών με τέτοιο τρόπο, ώστε οι υπόλοιπες κορυφές να μπορούν να διαμεριστούν σε μη τεμνόμενα ζεύγη γειτονικών κορυφών. (Σ. Μπέρλοβ)

6. Στις πλευρές

και

ενός κυρτού τετράπλευρου ABCD

δίνονται τα σημεία

και

αντίστοιχα, εξάλλου προέκυψε ότι AE=BE=CF=DF=EF

. Οι διαγώνιοι των τετράπλευρων BEFC

και

τέμνονται στα σημεία

και

αντίστοιχα. Οι κάθετες από τα σημεία

και

προς τις πλευρές

και

αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι TE=TF

. (Α. Σμιρνόβ)

7. Δίνεται ένας περιττός πρώτος αριθμός

. Εξετάζουμε το σύνολο $R=\{r_{1}, r_{2}, \ldots r_{p-1} \}$ όλων των φυσικών αριθμών (μη μηδενικών), μικρότερων του

. Με $a_{i}$ συμβολίζουμε το πλήθος των μη κενών υποσυνόλων

του συνόλου $\{1,2,\ldots ,p-1 \}$ , για τα οποία το άθροισμα $\displaystyle{ \sum_{j \in J} r_{j} }$ αφήνει υπόλοιπο

στην διαίρεση με το

. Να αποδείξετε ότι $a_{0}=a_{1}$ . (Π. Κοζέβνικοβ)

8. Να αποδείξετε ότι για τους θετικούς αριθμούς a,b,c,d

ισχύει η ανισότητα

$(ab)^{\frac{1}{3}} +(cd)^{\frac{1}{3}} \leq \left ( (a+c+d)(a+c+b)\right )^{\frac{1}{3}}$ .

(Φ. Πετρόβ)

mick7 · #2

Στο Π4 εαν πάρω p=2

και

το γινόμενο τους είναι κύβος του 2 ωστόσο p^2-q=0

Μήπως υπάρχει λάθος στην εκφώνηση ?

Al.Koutsouridis · #3

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 5:20 pm
Στο Π4 εαν πάρω και το γινόμενο τους είναι κύβος του 2 ωστόσο
Μήπως υπάρχει λάθος στην εκφώνηση ?

Ευχαριστώ για την παρατήρηση. Αν και έχω μεταφέρει σωστά από την πηγή την άσκηση, πιθανόν εδώ εννοείται για $p^2 \neq q$ . Θα το μελέτήσω παραπέρα και θα επανέρθω αν είναι.

Edit: Από δεύτερη πηγή, υπάρχει και η συνθήκη $t \neq p$ . Έχω διορθώσει και την αρχική ανάρτηση.

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2004 (8η/9η τάξη)

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2004 (8η/9η τάξη)

Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2004 (8η/9η τάξη)

Re: Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2004 (8η/9η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση