XXXV Μαθηματική Γιορτή - 18 Φεβρουαρίου 2024
6η τάξηΠρόβλημα 1. Η Κατερίνα και η Ελένη έχουν δυο χτένες ίσου μήκους. Σε κάθε χτένα όλα τα δόντια είναι ίδια και η απόσταση μεταξύ των δοντιών ίση με το πλάτος του δοντιού. Η χτένα της Κατερίνας έχει
δόντια (βλέπε σχήμα). Πόσα δόντια έχει η χτένα της Ελένης, αν αυτά είναι πέντε φορές πιο στενά από τα δόντια της χτένας της Κατερίνας; [5 μόρια] (Τ. Καζίτσινα)- Screenshot 2024-02-26 at 18.12.38.png (8.03 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές
Πρόβλημα 2. Από ένα ορθογώνιο
αποκόπηκε ένα κελί (βλέπε σχήμα). «Κολλήστε» αυτό το κελί σε κάποιο άλλο σημείο έτσι, ώστε να σχηματιστεί σχήμα το οποίο μπορεί να διαμεριστεί σε δυο ίδια (ίσα) σχήματα. [5 μόρια] (Τ. Καζίτσινα)- Screenshot 2024-02-26 at 18.12.55.png (8.94 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές
Πρόβλημα 3. Στο άθροισμα
(σημ. μετ. στο πρωτότυπο υπάρχει το άθροισμα П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й που διαβάζεται ως "πέντε κλάσματα") όλα τα ψηφία είναι κωδικοποιημένα με γράμματα (με διαφορετικά γράμματα διαφορετικά ψηφία). Προέκυψε, ότι κανένας εκ των πέντε προσθετέων δεν είναι ακέραιος, ενώ το άθροισμα είναι ακέραιος. Ποιο ακριβώς; Για κάθε πιθανή απάντηση γράψτε ένα παράδειγμα με πέντε τέτοιους προσθετέους. Εξηγήστε γιατί δεν μπορούν προκύψουν άλλα αθροίσματα. [7 μόρια] (Α. Σαποβάλοβ)
Πρόβλημα 4. O Γιώργος σχημάτισε με οχτώ τουβλάκια ένα κύβο (βλ. σχήμα). Όλα τα τουβλάκια έχουν τον ίδιο όγκο, τα γκρι τουβλάκια είναι ίδια μεταξύ τους και τα λευκά επίσης ίδια μεταξύ τους. Ποιο μέρος της ακμής του κύβου αποτελεί το μήκος, το πλάτος και το ύψος του άσπρου τούβλου; [7 μόρια] (Μ. Ευδοκίμοβ)
- Screenshot 2024-02-26 at 18.13.26.png (14.73 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές
Πρόβλημα 5. Ένας σεΐχης αποφάσισε να δοκιμάσει έναν σοφό της αυλής του. «Ιδού έξη κασετίνες, είπε ο σεΐχης, με επιγραφές στα καπάκια τους τους αριθμούς
. Σε κάθε κασετίνα βρίσκεται ένα χρυσό νόμισμα, το οποίο ζυγίζει ακριβώς τόσα γραμμάρια, όσα γράφει η επιγραφή. Εσύ τοποθετείς τις κασετίνες όπως θέλεις στα κελιά ενός ορθογωνίου 
. Ύστερα εγώ κρυφά από σένα αλλάζω την θέση των νομισμάτων κάποιων δυο κασετινών, που βρίσκονται σε γειτονικά κατά πλευρά κελιά (ή δεν αλλάζω τίποτα). Ύστερα εσύ θα υποδείξεις μερικές κασετίνες και εγώ θα σου ανακοινώσω το συνολικό βάρος των νομισμάτων σε αυτές. Αν μετά από αυτό αποφανθείς σωστά, ποια νομίσματα μετακίνησα, θα παραμείνεις στο παλάτι. Αν δεν μπορέσεις θα σε εκδιώξω!»Πως μπορεί να πράξει ο σοφός, ώστε να περάσει την δοκιμασία; [8 μόρια] (Α. Σαποβάλοβ)
Πρόβλημα 6. Σε ένα σχολείο όλοι οι μαθητές είναι είτε του άριστα, είτε του λίαν καλώς, είτε του καλώς. Σε ένα κύκλο στάθηκαν
μαθητές. Ο καθένας τους μεταξύ των τριών διπλανών του εκ αριστερών έχει τουλάχιστον έναν μαθητή του καλώς, μεταξύ πέντε διπλανών του εκ δεξιών τουλάχιστον έναν μαθητή του άριστα και μεταξύ τεσσάρων γειτόνων, δυο εκ δεξιών και δυο εκ αριστερών, τουλάχιστον έναν του λίαν καλώς. Μπορεί άραγε σε αυτό κύκλο να υπάρχουν τον ίδιο αριθμό μαθητές του άριστά και του καλώς; [8 μόρια] (Α. Σαποβάλοβ)