Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (8η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
12 Μαρτίου 2023 $\bullet$ 8η τάξη

Πρόβλημα 1. Δίνονται τρεις διαφορετικοί μη μηδενικοί αριθμοί. Ο Νίκος και ο Κώστας σχηματίζουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις, τοποθετώντας αυτούς τους αριθμούς ως συντελεστές, αλλά κάθε φορά με διαφορετική σειρά. Αν η εξίσωση έχει έστω και μια ρίζα, τότε ο Νίκος παίρνει ένα σοκολατάκι και αν καμία, τότε το σοκολατάκι το παίρνει ο Κώστας. Τα πρώτα τρία σοκολατάκια τα πήρε ο Νίκος, και τα επόμενα δυο ο Κώστας. Μπορούμε άραγε, να προσδιορίσουμε ποιος θα πάρει το τελευταίο, έκτο σοκολατάκι; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 2. Σε ένα τραπέζι στην σειρά είναι τοποθετημένες

κασετίνες, σε μία από τις οποίες υπάρχει ένα δώρο. Σε κάθε κασετίνα είναι γραμμένο είτε «Εδώ δεν υπάρχει δώρο», είτε «Το δώρο είναι στην διπλανή κασετίνα». Είναι γνωστό, ότι ακριβώς μια από αυτές τις προτάσεις αληθεύει. Τι είναι γραμμένο στην μεσαία κασετίνα; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 3. Να αποδείξετε, ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία

μοιρών μία από τις διχοτόμους είναι δυο φορές μικρότερη από την άλλη. (Ε. Μπακάεβ)

Πρόβλημα 4. Θα ονομάσουμε ένα μη μηδενικό φυσικό αριθμό καλό, αν στην δεκαδική του αναπαράσταση υπάρχουν μόνο μηδενικά και άσσοι. Έστω ότι το γινόμενο δυο καλών αριθμών προέκυψε καλός αριθμός. Αληθεύει άραγε, ότι τότε το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος των ψηφίων των παραγόντων; (Β. Κλέντσιν, Κ. Κνόπ)

Πρόβλημα 5. Στις πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου ABC

και εξωτερικά αυτού είναι κατασκευασμένα τα τρίγωνα $AB^{\prime}C$ , $CA^{\prime}B$ , $BC^{\prime}A$ έτσι, ώστε να προκύπτει εξάγωνο $AB^{\prime}CA^{\prime}BC^{\prime}$ , στο οποίο κάθε μια από τις γωνίες $A^{\prime}BC^{\prime}$ , $C^{\prime}AB^{\prime}$ , $B^{\prime}CA^{\prime}$ είναι μεγαλύτερη από 120

μοίρες και ικανοποιούνται οι ισότητες $AB^{\prime}=AC^{\prime}$ , $BC^{\prime}=BA^{\prime}$ , $CA^{\prime}=CB^{\prime}$ . Να αποδείξετε, ότι με τα ευθύγραμμα τμήματα $AB^{\prime}$ , $BC^{\prime}$ , $CA^{\prime}$ μπορεί να κατασκευαστεί τρίγωνο. (Ντ. Μπρόντσκιϊ)

: Screen Shot 2023-04-09 at 15.54.55.png (27.34 KiB) Προβλήθηκε 961 φορές

Πρόβλημα 6. Σε κάθε κελί ενός $8 \times 8$ πίνακα τοποθετήθηκε ένας φύλακας. Κάθε φύλακας μπορεί να κοιτάει σε μια από τέσσερεις κατευθύνσεις (κατά μήκος των γραμμών του πίνακα) και να φυλάει όλους τους φύλακες στην γραμμή του βλέμματός του. Για ποιο μέγιστο

μπορούμε να κατευθύνουμε έτσι τα βλέμματα των φυλάκων, ώστε κάθε φύλακα να τον φυλάνε τουλάχιστον

άλλοι φύλακες; (Β. Νόβικοβ)

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 09, 2023 11:35 pm
LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
12 Μαρτίου 2023 $\bullet$ 8η τάξη

Πρόβλημα 3. Να αποδείξετε, ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία μοιρών μία από τις διχοτόμους είναι δυο φορές μικρότερη από την άλλη. (Ε. Μπακάεβ)

Είναι $\displaystyle c = \frac{a}{2},b = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\sin 75^\circ = \frac{b}{{CE}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2CE}}.$

: Μόσχα 2023 (8).png (16.87 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Από Νόμο Ημιτόνων στο ABD

είναι $\displaystyle \frac{{AD}}{c} = \frac{{\sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{2CE}}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{CE=2AD}$

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 09, 2023 11:35 pm
LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
12 Μαρτίου 2023 $\bullet$ 8η τάξη

Πρόβλημα 2. Σε ένα τραπέζι στην σειρά είναι τοποθετημένες κασετίνες, σε μία από τις οποίες υπάρχει ένα δώρο. Σε κάθε κασετίνα είναι γραμμένο είτε «Εδώ δεν υπάρχει δώρο», είτε «Το δώρο είναι στην διπλανή κασετίνα». Είναι γνωστό, ότι ακριβώς μια από αυτές τις προτάσεις αληθεύει. Τι είναι γραμμένο στην μεσαία κασετίνα; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Ας υποθέσουμε ότι το δώρο δεν είναι ούτε στην πρώτη ούτε στην τελευταία κασετίνα, αλλά σε μια ενδιάμεση.
Τότε σε αυτήν είτε γράφει την πρώτη πρόταση είτε την δεύτερη, η πρόταση θα είναι ψευδής. Ας δούμε το τι θα γράφουν οι
δύο διπλανές:

Αν η μία γράφει : "Εδώ δεν υπάρχει δώρο", και η άλλη το ίδιο, τότε θα έχουμε δύο αληθείς προτάσεις, που απαγορεύει η υπόθεση

Αν η μία γράφει: "Εδώ δεν υπάρχει δώρο" και η άλλη "Το δώρο είναι στην διπλανή κασετίνα", τότε πάλι θα έχουμε δύο αληθείς
προτάσεις

Αν η μία γράφει :"Το δώρο είναι στην διπλανή κασετίνα", και η άλλη το ίδιο, τότε και πάλι θα έχουμε δύο αληθείς προτάσεις

Συνεπώς υποχρεωτικά θα πρέπει το δώρο να είναι τοποθετημένο ή στην πρώτη ή στην τελευταία κασετίνα.
Τότε ότι και να είναι γραμμένο στην κασετίνα αυτή θα είναι ψευδές, ενώ θα πρέπει η διπλανή της να γράφει "Το δώρο είναι
στην διπλανή κασετίνα", που είναι αληθής, και όλες οι άλλες κασετίνες θα πρέπει να γράφουν πάλι "Το δώρο είναι στην διπλανή
κασετίνα, που θα είναι όλες τους ψευδείς. Οπότε πράγματι μία μόνο πρόταση θα είναι αληθής, όπως επιτάσσει η εκφώνηση.
Άρα η μεσαία κασετίνα θα γράφει: "Το δώρο είναι στην διπλανή κασετίνα"

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 09, 2023 11:35 pm
LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
12 Μαρτίου 2023 $\bullet$ 8η τάξη

Πρόβλημα 1. Δίνονται τρεις διαφορετικοί μη μηδενικοί αριθμοί. Ο Νίκος και ο Κώστας σχηματίζουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις, τοποθετώντας αυτούς τους αριθμούς ως συντελεστές, αλλά κάθε φορά με διαφορετική σειρά. Αν η εξίσωση έχει έστω και μια ρίζα, τότε ο Νίκος παίρνει ένα σοκολατάκι και αν καμία, τότε το σοκολατάκι το παίρνει ο Κώστας. Τα πρώτα τρία σοκολατάκια τα πήρε ο Νίκος, και τα επόμενα δυο ο Κώστας. Μπορούμε άραγε, να προσδιορίσουμε ποιος θα πάρει το τελευταίο, έκτο σοκολατάκι; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Αν

είναι οι συντελεστές, τότε έχουμε

εξισώσεις, αλλά μόνο

διαφορετικές διακρίνουσες.

Αυτές είναι b^2-4ac, a^2-4bc, c^2-4ab.

Αφού τα

πρώτα σοκολατάκια δεν τα παίρνει μόνο ένας, σημαίνει

ότι κάποιες εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μία ρίζα και κάποιες καμία. Από τα δεδομένα προκύπτει λοιπόν, ότι στις

τρεις πρώτες εξισώσεις υπάρχουν δύο ίδιες διακρίνουσες. Άρα και οι επόμενες δύο εξισώσεις έχουν την ίδια αρνητική

διακρίνουσα. Περισσεύει λοιπόν μία εξίσωση που έχει ίση διακρίνουσα με μία από τις τρεις πρώτες. Επομένως, ο Νίκος

θα φάει το έκτο σοκολατάκι.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 09, 2023 11:35 pm
LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
12 Μαρτίου 2023 $\bullet$ 8η τάξη

Πρόβλημα 3. Να αποδείξετε, ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία μοιρών μία από τις διχοτόμους είναι δυο φορές μικρότερη από την άλλη. (Ε. Μπακάεβ)

Θεωρώ το $\vartriangle ABC \to \left( {90^\circ ,60^\circ ,30^\circ } \right)$ . Τις διχοτόμους $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ που τέμνονται στο

.

$M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των υποτεινουσών $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC$ . Αβίαστα προκύπτουν τα μέτρα των γωνιών του σχήματος.

: Ολυμπιάδα Μόσχας_2023.png (43.07 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Το τετράπλευρο BDIE

είναι εγγράψιμο και το τετράπλευρο AEDN

ισοσκελές τραπέζιο , άρα έχει ίσες διαγωνίους .

Συνεπώς : CE = 2NE = 2AD

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (8η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση