Τεστ Εξάσκησης (11), Μεγάλοι

[socrates]

ΘΕΜΑ 1
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε .


ΘΕΜΑ 2
Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50\,\% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.


ΘΕΜΑ 3
Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 12 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος. Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα.


ΘΕΜΑ 4
Έστω τρίγωνο με και το μέσο της πλευράς Έστω, ακόμη, σημείο της πλευράς ώστε Η παράλληλη στην από το και η ευθεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι

[Demetres]

ΘΕΜΑ 2
Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50\,\% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.

Ας υποθέσουμε ότι ο αθλητής έριξε βέλη στη ζώνη και στη ζώνη . Τότε έχουμε:

μη αρνητικοί ακέραιοι με για κάθε .



Το τελευταίο δίνει



Αν όλοι οι αθλητές είχαν διαφορετικές βαθμολογίες τότε τα θα ήταν όλα διαφορετικά μεταξύ τους. Το ίδιο θα ίσχυε και για τα . Όμως αυτά παίρνουν ακέραιες τιμές από μέχρι . Επειδή τότε οι τρεις τιμές που δεν εμφανίζονται έχουν άθροισμα .

Άρα τα παίρνουν όλες τις τιμές στο εκτός από το πολύ μία. Παρατηρούμε επίσης ότι για να πάρει το την τιμή πρέπει να έχουμε . Επομένως . Αλλά τότε , άτοπο.

[Mihalis_Lambrou]

ΘΕΜΑ 3
Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 12 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος. Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα.

Δύσκολη.

Αφαιρώντας τον ίδιο αριθμό κιλών από κάθε ένα από τα βάρη, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το πιο ελαφρύ ζυγίζει κιλό. Έστω ότι δεν ζύγιζαν όλα τα βάρη από κιλό αλλά από ακέραια κιλά (), όπου κάποια από αυτά ζύγιζαν κιλό το καθένα. Έπεται ότι .

Μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε ότι τα βάρη μας έχουν το ελάχιστο δυνατό συνολικό βάρος.

Αφού οποιαδήποτε από τα βάρη ισορροπούν στα δύο μέρη μιας ζυγαριάς, σημαίνει ότι το συνολικό βάρος οποιωνδήποτε από αυτά είναι άρτιος αριθμός. Ειδικά αν αφήσουμε έξω από μία τέτοια δωδεκάδα το βάρος του κιλού, τότε το βάρος της δωδεκάδας είναι άρτιος. Αν κατόπιν βάλουμε πίσω στην δωδεκάδα το βάρος του κιλού αλλά αφαιρέσουμε κάποιο άλλο, σημαίνει ότι εκείνο το άλλο πρέπει να έχει βάρος περιττό αριθμό κιλών (βάλαμε κιλό, βγάλαμε κάποια κιλά, έμεινε πάλι άρτιο άθροισμα κιλών, οπότε αυτό που βγάλαμε πρέπει να είναι περιττός αριθμός κιλών). Συμπέρασμα: όλα τα βάρη ζυγίζουν περιττό αριθμό κιλών.

Κοιτάμε τώρα τα βάρη . Είναι ακέραια (αφού τα είναι περιττοί αριθμοί) και φυσικά έχουν την ιδιότητα ότι κάθε δωδεκάδα μπορεί να μοιραστεί σε δύο ισοβαρείς εξάδες. Παρατηρούμε όμως ότι το συνολικό βάρος μίκρυνε καθώς

(ισοδυναμεί με την αληθή ).

Άτοπο στην επιλογή ότι τα ήταν τέτοια με το ελάχιστο συνολικό βάρος.

Άρα όλα τα βάρη ζυγίζουν το ίδιο, από κιλό.

[Demetres]

ΘΕΜΑ 3
Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 12 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος. Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα.

Δύσκολη.

Ας το δυσκολέψουμε ακόμη περισσότερο: Δείξτε το ίδιο αν τα βάρη είναι πραγματικοί αριθμοί. (Ίσως όχι τόσο κατάλληλο για μαθητές. Πρέπει να το έχουμε δει ξανά.)