Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

#1

Πρόβλημα 1: Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού $2^{2^{2021}}$ με τον αριθμό

.

Πρόβλημα 2: Δίνεται το σύνολο $S = \{1,2,3,\ldots,3\nu\}$ , όπου $\nu$ φυσικός αριθμός. Αν

είναι ένα υποσύνολο του

, συμβολίζουμε με $\Sigma(T)$ το άθροισμα των στοιχείων του

. (Αν $T = \emptyset$ , ορίζουμε $\Sigma(T) = 0$ .)
(α) Να βρείτε το πλήθος των υποσυνόλων

του

με

τέτοια ώστε το $\Sigma(T)$ να διαιρείται με το

.
(β) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των υποσυνόλων

του

τέτοια ώστε το $\Sigma(T)$ να διαιρείται με το

είναι
$\displaystyle \frac{8^{\nu} + 2^{\nu+1}}{3}$

Σημείωση: Με |X|

συμβολίζουμε τον πληθικό αριθμό του συνόλου

, δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του

.

Πρόβλημα 3: Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ με τις εξής ιδιότητες

$f(0)\neq 0$

$f(1)=\frac{5}{2}$

Για κάθε $m,n \in \mathbb{N}_0$ , ισχύει ότι $\displaystyle f(n)f(m) = f(n+m)+f(n-m)$

Να βρείτε τον τύπο της

.

Σημείωση: Με $\mathbb{N}_0$ συμβολίζουμε το σύνολο $\mathbb{N}_0 = \{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Πρόβλημα 4: Δίνεται τρίγωνο $\triangle AB\varGamma$ με $AB \neq B\varGamma$ και $\varDelta,E,Z$ τα μέσα των πλευρών $B\varGamma,A\varGamma$ και

αντίστοιχα. Με διαμέτρους τα τμήματα

και $A\varGamma$ γράφουμε ημικύκλια εξωτερικά του τριγώνου. Οι ευθείες $\varDelta E$ και $\varDelta Z$ τέμνουν τα ημικύκλια στα σημεία $\varTheta$ και

αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες των ημικυκλίων στα σημεία $\varTheta$ και

τέμνονται στο

. Αν η $\varDelta A$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\triangle H\varDelta\varTheta$ στο σημείο

, να αποδείξετε ότι οι ευθείες

και $H\varTheta$ τέμνονται πάνω στην ευθεία $B\varGamma$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 6:27 pm

Πρόβλημα 3: Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ με τις εξής ιδιότητες
$f(0)\neq 0$

$f(1)=\frac{5}{2}$

Για κάθε $m,n \in \mathbb{N}_0$ , ισχύει ότι $\displaystyle f(n)f(m) = f(n+m)+f(n-m)$
Να βρείτε τον τύπο της .

Σημείωση: Με $\mathbb{N}_0$ συμβολίζουμε το σύνολο $\mathbb{N}_0 = \{0,1,2,3,\ldots\}$ .

Μάλλον θα έπρεπε να τονίζεται ότι η σχέση ισχύει για $n\geq m$
Θέτουμε m=n=0

και παίρνουμε f(0)f(0)=f(0)+f(0)

και αφού $f(0)\neq 0$ έχω f(0)=2

Θέτω

και για $n\geq 1$ παίρνω $5f(n)=2f(n+1)+2f(n-1)\Leftrightarrow f(n+1)=\dfrac{5}{2}f(n)-f(n-1)$
Αυτή την βλέπουμε σαν αναδρομικό τύπο ακολουθίας, με χαρακτηριστική εξίσωση $X^2=5/2X-1\Leftrightarrow X=2,\dfrac{1}{2}$
Οπότε θα είναι $f(n)=C_12^n+C_2\dfrac{1}{2^n}$
Λύνοντας το σύστημα για n=0,1

παίρνουμε

Οπότε $f(n)=2^n+\dfrac{1}{2^n}$ που επαληθεύει τις συνθήκες.

2nisic · #3

Πρόβλημα 1:
Αρκεί να βρω το υπόλοιπο της διερεσης του $2^{2021}$ με το

$2^{2021}\equiv 0(mod32) and2^{2021}\equiv 2(mod3)$

Άρα $2^{2021}\equiv 32(mod96)$

Άρα: $2^{2^{2021}}\equiv 2^{32}\equiv 35(mod97)$

2nisic · #4

Πρόβλημα 2το i:
Έστω T={a,b,c}

τότε παράτιρουμε ότι: $(a,b,c)\equiv (k,k,k),(0,1,2),(0,2,1),(1,0,2),(2,0,1),(2,1,0),(1,2,0)(mod(3,3,3))$

Αρα το πλήθος των τρόπων είναι : $3\binom{n}{3}+6n^3$

Edit1 : έχω λάθος έχω θεωροση ότι τα σύνολα (1,2,3)

,

πως είναι διαφορετικα

Edit 2: $\frac{6n^3}{6}+3\binom{n}{3}$

ksofsa · #5

Καλησπέρα!

Για το δεύτερο ερώτημα του 2ου προβλήματος:

Διαμερίζω το

στα υποσύνολα $S_{1}=(1,4,...,3n-2), S_{2}=(2,5,...3n-1),S_{3}=(3,6,...,3n)$ .

Το πλήθος των υποσυνόλων του $S_{3}$ είναι 2^n

και είναι εμφανές ότι έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα.

Το πλήθος των υποσυνόλων του $S_{1}\bigcup S_{2}$ με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι $\dfrac{4^n+2}{3}$ .

Θα το αποδείξω με επαγωγή.

Για n=1

, εύκολα ελέγχουμε ότι ισχύει.

Έστω για n-1

.Θα το δείξω για

.

Το πλήθος των υποσυνόλων του $S_{1}\bigcup S_{2}-(3n-1,3n-2)$ με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι $\dfrac{4^{n-1}+2}{3}$ .

Τα επιπλέον σύνολα με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι αυτά που προκύπτουν από τα προηγούμενα με την προσθήκη των

και αυτά που προκύπτουν από τα μη ζητούμενα με την προσθήκη είτε του 3n-1

είτε του

, δηλαδή ,συνολικά, όσα τα στοιχεία του $S_{1}\bigcup S_{2}-(3n-1,3n-2)$ , δηλαδή $2^{2n-2}=4^{n-1}$ .

Τελικά τα ζητούμενα σύνολα $4^{n-1}+\dfrac{4^{n-1}+2}{3}=\dfrac{4^n+2}{3}$ .

Και ερχόμενοι στο αρχικό πρόβλημα , βρίσκουμε ότι τα ζητούμενα σύνολα είναι $2^n\cdot \dfrac{4^n+2}{3}=\dfrac{8^n+2^{n+1}}{3}$ .

2nisic · #6

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 6:27 pm
Πρόβλημα 2: Δίνεται το σύνολο $S = \{1,2,3,\ldots,3\nu\}$ , όπου $\nu$ φυσικός αριθμός. Αν είναι ένα υποσύνολο του , συμβολίζουμε με $\Sigma(T)$ το άθροισμα των στοιχείων του . (Αν $T = \emptyset$ , ορίζουμε $\Sigma(T) = 0$ .)
(β) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των υποσυνόλων του τέτοια ώστε το $\Sigma(T)$ να διαιρείται με το είναι
$\displaystyle \frac{8^{\nu} + 2^{\nu+1}}{3}$

Βγάζουμε απο το σύνολο

όλα τα πολλαπλάσια του 3 ονομάζουμε το καινούριο σύνολο

.
Έστω τώρα

υποσύνολο του

.
Θέλουμε να δείξουμε ότι το πλήθος των υποσυνολων για τα οποία το $\Sigma(T')$
είναι πολ3 ισούται με : $\frac{2^{2n}+2}{3}$

Έστω P(n)

το πλήθος των υποσυνολων του

για τα οποία $\Sigma(T')\equiv 0(mod3)$
Έστω Q(n)

το πλήθος των υποσυνολων του

για τα οποία $\Sigma(T')\equiv 1(mod3)$
Έστω R(n)

το πλήθος των υποσυνολων του

για τα οποία $\Sigma(T')\equiv 2(mod3)$

Θα δείξουμε ότι $P(n)=\displaystyle{\frac{2^{2n}+2}{3}$ και $Q(n)=R(n)=\frac{2^{2n}-1}{3}$

Για n=1

ισχύει.

Έστω ότι ισχύει για n=k

θα δείξουμε πως ισχύει και για n=k+1

$P(k+1)=P(k)+P(k)+Q(k)+R(k)=....=\frac{2^{2(k+1)}+2}{3}$
$Q(k+1)=Q(k)+Q(k)+P(k)+R(k)=....=\frac{2^{2n}-1}{3}$
$R(k+1)=R(k)+R(k)+P(k)+Q(k)=.....=\frac{2^{2n}-1}{3}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 6:27 pm

Πρόβλημα 4: Δίνεται τρίγωνο $\triangle AB\varGamma$ με $AB \neq B\varGamma$ και $\varDelta,E,Z$ τα μέσα των πλευρών $B\varGamma,A\varGamma$ και αντίστοιχα. Με διαμέτρους τα τμήματα και $A\varGamma$ γράφουμε ημικύκλια εξωτερικά του τριγώνου. Οι ευθείες $\varDelta E$ και $\varDelta Z$ τέμνουν τα ημικύκλια στα σημεία $\varTheta$ και αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες των ημικυκλίων στα σημεία $\varTheta$ και τέμνονται στο . Αν η $\varDelta A$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\triangle H\varDelta\varTheta$ στο σημείο , να αποδείξετε ότι οι ευθείες και $H\varTheta$ τέμνονται πάνω στην ευθεία $B\varGamma$ .

Χρησιμοποιώ λατινικά γράμματα, $\Theta=U$ τά άλλα απλά
Οι κύκλοι (Z,ZA),(E,EA)

θα τέμνονται πάνω στην πλευρά

και μάλιστα στο ίχνος του ύψους του

, έστω

Είναι $\angle DUI=\angle DHI=90^{\circ}$ οπότε $I\in (DUH)$ , επίσης

διάμετρος οπότε K,A,I

συνευθειακά.
Επίσης DU=DZ+ZU=AE+ZA=EH+ED=DH

και $\angle UAZ=\angle EAH=90^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2}$ οπότε U,A,H

συνευθειακά και μάλιστα $UH\perp DI$ .
Τελικά οι IX,HU,DK

θα συντρέχουν στο ορθόκεντρο του AID

: 29.PNG (58.76 KiB) Προβλήθηκε 1429 φορές

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO+BMO+IMO 2021

Μέλη σε σύνδεση