Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2020 (1η φάση, 8η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019-20
Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη


1. Η Αλεξάνδρα, ο Αντρέας και η Ελένη διάλεξαν από έναν μη μηδενικό φυσικό αριθμό. Ο καθένας τους πολλαπλασίασε τους αριθμούς, που διάλεξαν τα άλλα δυο παιδιά, με τον δικό του αριθμό και αφαίρεσε το μικρότερο γινόμενο από το μεγαλύτερο. Της Αλεξάνδρας της προέκυψε ο αριθμός και του Ανδρέα ο . Πόσο μπορεί να προέκυψε της Ελένης; Φέρτε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν άλλες.


2. Σε ένα κύκλο είναι τοποθετημένα κόκκινα , μπλε και πράσινα σημεία, εξάλλου κανένα ζεύγος σημείων ίδιου χρώματος δεν βρίσκεται το ένα δίπλα στο άλλο. Να αποδείξετε ότι θα βρεθεί μπλε σημείο, του οποίου και οι δυο γείτονες είναι πράσινοι.


3. Τετραγωνισμένο ορθογώνιο διαστάσεων ( γραμμές, στήλες) διαμερίστηκε σε λωρίδες με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε στήλη να περιέχει ακριβώς κάθετες λωρίδες. Με τι μπορεί να ισούται το ;


4. Στο τραπέζιο η βάση είναι δυο φορές κοντύτερη από την . Στο εσωτερικό του τραπεζίου δίνεται σημείο , ώστε . Να αποδείξετε, ότι η ευθεία που ενώνει, το σημείο με το μέσο του τμήματος , είναι κάθετη προς την .


5. Υπάρχουν άραγε διαδοχικοί οκταψήφιοι αριθμοί, τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε σε ομάδες με ίσα αθροίσματα;


Πηγή

[STOPJOHN]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2019-20
Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη


1. Η Αλεξάνδρα, ο Αντρέας και η Ελένη διάλεξαν από έναν μη μηδενικό φυσικό αριθμό. Ο καθένας τους πολλαπλασίασε τους αριθμούς, που διάλεξαν τα άλλα δυο παιδιά, με τον δικό του αριθμό και αφαίρεσε το μικρότερο γινόμενο από το μεγαλύτερο. Της Αλεξάνδρας της προέκυψε ο αριθμός και του Ανδρέα ο . Πόσο μπορεί να προέκυψε της Ελένης; Φέρτε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν άλλες.


2. Σε ένα κύκλο είναι τοποθετημένα κόκκινα , μπλε και πράσινα σημεία, εξάλλου κανένα ζεύγος σημείων ίδιου χρώματος δεν βρίσκεται το ένα δίπλα στο άλλο. Να αποδείξετε ότι θα βρεθεί μπλε σημείο, του οποίου και οι δυο γείτονες είναι πράσινοι.


3. Τετραγωνισμένο ορθογώνιο διαστάσεων ( γραμμές, στήλες) διαμερίστηκε σε λωρίδες με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε στήλη να περιέχει ακριβώς κάθετες λωρίδες. Με τι μπορεί να ισούται το ;


4. Στο τραπέζιο η βάση είναι δυο φορές κοντύτερη από την . Στο εσωτερικό του τραπεζίου δίνεται σημείο , ώστε . Να αποδείξετε, ότι η ευθεία που ενώνει, το σημείο με το μέσο του τμήματος , είναι κάθετη προς την .


5. Υπάρχουν άραγε διαδοχικοί οκταψήφιοι αριθμοί, τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε σε ομάδες με ίσα αθροίσματα;


Πηγή

Πρόβλημα 4

[Manolis Petrakis]

5. Υπάρχουν άραγε διαδοχικοί οκταψήφιοι αριθμοί, τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε σε ομάδες με ίσα αθροίσματα;

▪︎Έστω ότι χωρίζονταν σε ομάδες αριθμών με ίσο πλήθος αριθμών Άτοπο
▪︎Έστω το άθροισμα των αριθμών της ομάδας και οι διαδοχικοί αριθμοί
•Αν υπάρχει ομάδα με τουλάχιστον αριθμούς τότε υπάρχει ομάδα με το πολύ αριθμούς
Έτσι στο ανήκουν αριθμοί και στο αριθμοί με και
Αλλά

. Έτσι πρέπει να ανήκουν λιγότεροι από αριθμοί σε κάθε ομάδα
•Έστω ότι στο ανήκουν αριθμοί και στο αριθμοί με
Αλλά
Και
Θα δείξουμε ότι άρα και πως η αρχική πρόταση είναι αδύνατη
Λόγω των :

Αλλά με λόγω της