Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

i. Αν $\displaystyle{a\geqslant 0}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{9a-6\sqrt{a}+1=9\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{3}\right)^2}$ .

ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z, w}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{3(x+y+z+w)=2\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{w}\right)+6\sqrt{x-2}+2}$

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x, y)}$ θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει $\displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}$ .

Πρόβλημα 3

Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν $\displaystyle{k}$ άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν $\displaystyle{m}$ άντρες.
Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των $\displaystyle{k}$ και $\displaystyle{m}$ .

Πρόβλημα 4

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{AB>BC}$ . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{H}$ τα σημεία τομής των δύο κύκλων και $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{BC}$ . Αν $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{L}$ είναι τα συμμετρικά του $\displaystyle{M}$ ως προς $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{H}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{K, A, L, D}$ είναι κορυφές ρόμβου.

#2

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am
Πρόβλημα 1

i. Αν $\displaystyle{a\geqslant 0}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{9a-6\sqrt{a}+1=9\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{3}\right)^2}$ .

ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z, w}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{3(x+y+z+w)=2\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{w}\right)+6\sqrt{x-2}+2}$

i. $\displaystyle 9a - 6\sqrt a + 1 = {(3\sqrt a - 1)^2} = {\left[ {3\left( {\sqrt a - \frac{1}{3}} \right)} \right]^2} = 9{\left( {\sqrt a - \frac{1}{3}} \right)^2}$

ii. Πολλαπλασιάζω επί

και τα φέρνω όλα στο πρώτο μέλος:

$\displaystyle (9y - 6\sqrt y + 1) + (9z - 6\sqrt z + 1) + (9w - 6\sqrt w + 1) + 9(x - \sqrt {x - 2} - 1) = 0$

$\displaystyle {\left( {\sqrt y - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt z - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt w - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)^2} = 0$

$\boxed{(x,y,z,w) = \left( {3,\frac{1}{9},\frac{1}{9},\frac{1}{9}} \right)}$

#3

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am

Πρόβλημα 3

Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν $\displaystyle{k}$ άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν $\displaystyle{m}$ άντρες.
Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των $\displaystyle{k}$ και $\displaystyle{m}$ .

Έστω ότι ο γυμναστής έχει

άντρες , τοποθετεί

άντρες σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και του περισσεύουν

άντρες. Τότε:

$\boxed{x = {y^2} + k}$

Αν τώρα προσθέσει έναν άντρα σε κάθε σειρά του τεραγώνου,του λείπουν

άντρες. Τότε:

$\boxed{x = {(y + 1)^2} - m}$

Από τις εξισώσεις (1)

και

είναι:

$\displaystyle{{(y + 1)^2} - m = {y^2} + k \Leftrightarrow y = \dfrac{k+m-1}{2}$ .

Οπότε, οι άντρες που γυμνάζει ο γυμναστής δίνονται από τον τύπο: $\boxed{x = {\left( {\frac{{k + m - 1}}{2}} \right)^2} + k}$

Διερεύνηση: Ο αριθμός

των ανδρών πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, το ίδιο και οι αριθμοί y,k,m

. Για να είναι όμως

το κλάσμα $\displaystyle{\frac{{k + m - 1}}{2}}$ ακέραιος θα πρέπει ο αριθμός k+m-1

να είναι άρτιος, δηλαδή ο k+m

περιττός.

ΥΓ. Αυτά με την προϋπόθεση ότι στη δεύτερη τοποθέτηση παραμένει η τετραγωνική διάταξη, δηλαδή τοποθετεί από έναν

άντρα σε κάθε σειρά και στήλη του τετραγώνου. Αλλιώς θα προκύψει ορθογώνιο και το αποτέλεσμα αλλάζει.

#4

Soteris έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x, y)}$ θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει $\displaystyle{(x-1)(21-x)=y^2}$ .

Είναι, $\displaystyle (x - 1)(21 - x) = {y^2} > 0 \Rightarrow x \in \{ 2,3,4,...,20\}$

Επειδή όμως και ο

είναι θετικός ακέραιος, με δοκιμές βρίσκουμε: $\displaystyle (x,y) \in \{ (3,6),(5,8),(11,10),(17,8),(19,6)\}$

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση