Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Datis-Kalali · #1

Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις θετικοί ακέραιες λύσεις (a,b,c)

της εξίσωσης
7^a+1=3^b+5^c

Προβλήμα 2
Αν a,b,c

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι
$\frac{ab(a^3+b^3)}{a^2+b^2}+\frac{bc(b^3+c^3)}{b^2+c^2}+\frac{ca(c^3+a^3)}{c^2+a^2} \ge \sqrt{3abc(a^3+b^3+c^3)}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Datis Kalali μπορείς να βάλεις τις λύσεις σου

;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Ναι. Ούτε εγώ κατάφερα κάτι. Είναι σίγουρα θέματα Γυμνασίου;

JimNt. · #4

Tην δεύτερη την έχω ξανασυναντήσει. Έπειτα από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει κάτι αληθές.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

JimNt. έγραψε:Tην δεύτερη την έχω ξανασυναντήσει. Έπειτα από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει κάτι αληθές.

Μου φάνηκε λίγο πιο βατή από την άλλη, η οποία, δεν ξέρω, λύνεται με κάποιο θεώρημα; Τα προσπάθησα όλα, αλλά δεν το κατάφερα...

JimNt. · #6

Φιλικά... Καμία άσκηση Θ.Αριθμών δεν λύνεται με πράξεις... (Τι ακριβώς προσπάθησες; )

Κατερινόπουλος Νικόλας · #7

JimNt. έγραψε:Φιλικά... Καμία άσηση Θ.Αριθμών δεν λύνεται με πράξεις...

Κατά λάθος το έγραψα. Έχει διορθωθεί!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

JimNt. έγραψε:Τι ακριβώς προσπάθησες;

Θεωρήματα... Δεν βρήκα κάποιο που να βοηθάει!

Παρεμπιπτόντως, μπορούν να ανακοινωθούν οι πηγές;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #9

Πάλεψα με πολλά mod

, άλλα το μόνο που κατάφερα με την πρώτη άσκηση ήταν να αποδείξω ότι a, b, c

είναι περιττοί και μάλιστα ότι $a\equiv b \equiv 1 \pmod{4}$ . Τίποτα άλλο σημαντικό.

Υ.Γ Το κακό με την συγκεκριμένη είναι ότι έχει μια λύση, την (a, b, c)=(1, 1, 1)

, άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια κλασική μέθοδο που να αποδεικνύει ότι η εξίσωση είναι άλυτη. Πρέπει να εκμεταλλευτούμε το γεγονός του ότι a, b, c<2 (εκτός αν υπάρχει και άλλη λύση).

Κατερινόπουλος Νικόλας · #10

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Πάλεψα με πολλά , άλλα το μόνο που κατάφερα με την πρώτη άσκηση ήταν να αποδείξω ότι είναι περιττοί και μάλιστα ότι $a\equiv b \equiv 1 \pmod{4}$ . Τίποτα άλλο σημαντικό.

Έφτασα κι εγώ εκεί. Τι βγάζει;

(Τα θέματα είνα Γυμνασίου;)

min## · #11

Εδώ(λίγο ακατάλληλο φαίνεται...) https://math.stackexchange.com/question ... -a-b-and-c (δεν είναι καν λύση βασικά)

#12

Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις θετικοί ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

Θα δείξουμε ότι η μόνη λύση είναι η (1,1,1)

. Κάπως επιγραμματικά διότι η λύση είναι αρκετά μεγάλη:

Με $\bmod 3$ βγαίνει $c \equiv 1 \bmod 2$ .
Με $\bmod 4$ βγαίνει $a \equiv b \bmod 2$ .
Με $\bmod 8$ βγαίνει $a \equiv b \equiv 1 \bmod 2$ .
Με $\bmod 5$ και τα πιο πάνω έχουμε $2^a \equiv 2,3 \bmod 5$ , και $3^b \equiv 2,3 \bmod 5$ . Πρέπει $2^a \equiv 2 \bmod 5$ και $3^b \equiv 3 \bmod 5$ . Καταλήγουμε στο $a \equiv b \equiv 1 \bmod 4$ .
Με $\bmod 16$ και χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα παίρνουμε $c \equiv 1 \bmod 4$ .

Η ακολουθία $3^b \bmod 7$ είναι περιοδικά 3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1

.
Η ακολουθία $5^c \bmod 7$ είναι περιοδικά 5,4,6,2,3,1,5,4,6,3,2,1

.

Χρησιμοποιώντας ότι $b \equiv c \equiv 1 \bmod 4$ και $1 \equiv 3^b + 5^c \bmod 7$ παίρνουμε $b \equiv c \equiv 1 \bmod 12$ η $b \equiv c \equiv 5 \bmod 12$

Περίπτωση 1: Αν b=1

: Τότε

. Αν

, τότε

. Αν

τότε έχουμε άτοπο $\bmod 25$ αφού $\bmod 25$ η ακολουθία 7^a

είναι περιοδικά 7,-1,-7,1

.

Περίπτωση 2: Αν b > 1

τότε $7^a-5^c \equiv 8 \bmod 9$ .

Η ακολουθία $5^c \bmod 9$ είναι περιοδικά 5,4,6,3,2,1,5,4,6,3,2,1

.

Αφού $c \equiv 1,5 \bmod 12$ τότε $5^c \equiv 5,3 \bmod 12$ και άρα $7^a \equiv 1,4 \bmod 12$ . Επειδή επιπλέον $a \equiv 1 \bmod 4$ και η ακολουθία $7^a \bmod 9$ είναι περιοδικά 7,4,1,7,4,1,7,4,1,7,4,1

τότε καταλήγουμε στο

$a \equiv 5 \bmod 12, b \equiv c \equiv 1 \bmod 12$ ή $a \equiv 9 \bmod 12, b \equiv c \equiv 5 \bmod 12$

Τώρα δουλεύουμε $\bmod 13$ . Πρέπει $7^a + 1 \equiv 3^b + 5^c \bmod 13$

Η ακολουθία $7^a \bmod 13$ είναι περιοδικά 7,10,5,9,11,12,6,3,8,4,2,1

.
Η ακολουθία $3^b \bmod 13$ είναι περιοδικά 3,9,1,3,9,1,3,9,1,3,9,1

.
Η ακολουθία $5^c \bmod 7$ είναι περιοδικά 5,12,8,1,5,12,8,1,5,12,8,1

.

Όμως τόσο η περίπτωση $a \equiv 5 \bmod 12, b \equiv c \equiv 1 \bmod 12$ όσο και η $a \equiv 9 \bmod 12, b \equiv c \equiv 5 \bmod 12$ καταλήγουν σε άτοπο.

#13

Μια διαφορετική λύση εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h353444

Ορέστης Λιγνός · #14

Demetres έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις θετικοί ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

Θα δείξουμε ότι η μόνη λύση είναι η . Κάπως επιγραμματικά διότι η λύση είναι αρκετά μεγάλη:

Με $\bmod 3$ βγαίνει $c \equiv 1 \bmod 2$ .
Με $\bmod 4$ βγαίνει $a \equiv b \bmod 2$ .
Με $\bmod 8$ βγαίνει $a \equiv b \equiv 1 \bmod 2$ .
Με $\bmod 5$ και τα πιο πάνω έχουμε $2^a \equiv 2,3 \bmod 5$ , και $3^b \equiv 2,3 \bmod 5$ . Πρέπει $2^a \equiv 2 \bmod 5$ και $3^b \equiv 3 \bmod 5$ . Καταλήγουμε στο $a \equiv b \equiv 1 \bmod 4$ .
Με $\bmod 16$ και χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα παίρνουμε $c \equiv 1 \bmod 4$ .

Η ακολουθία $3^b \bmod 7$ είναι περιοδικά .
Η ακολουθία $5^c \bmod 7$ είναι περιοδικά .

Χρησιμοποιώντας ότι $b \equiv c \equiv 1 \bmod 4$ και $1 \equiv 3^b + 5^c \bmod 7$ παίρνουμε $b \equiv c \equiv 1 \bmod 12$ η $b \equiv c \equiv 5 \bmod 12$

Περίπτωση 1: Αν : Τότε . Αν , τότε . Αν τότε έχουμε άτοπο $\bmod 25$ αφού $\bmod 25$ η ακολουθία είναι περιοδικά .

Περίπτωση 2: Αν τότε $7^a-5^c \equiv 8 \bmod 9$ .

Η ακολουθία $5^c \bmod 9$ είναι περιοδικά .

Αφού $c \equiv 1,5 \bmod 12$ τότε $5^c \equiv 5,3 \bmod 12$ και άρα $7^a \equiv 1,4 \bmod 12$ . Επειδή επιπλέον $a \equiv 1 \bmod 4$ και η ακολουθία $7^a \bmod 9$ είναι περιοδικά τότε καταλήγουμε στο

$a \equiv 5 \bmod 12, b \equiv c \equiv 1 \bmod 12$ ή $a \equiv 9 \bmod 12, b \equiv c \equiv 5 \bmod 12$

Τώρα δουλεύουμε $\bmod 13$ . Πρέπει $7^a + 1 \equiv 3^b + 5^c \bmod 13$

Η ακολουθία $7^a \bmod 13$ είναι περιοδικά .
Η ακολουθία $3^b \bmod 13$ είναι περιοδικά .
Η ακολουθία $5^c \bmod 7$ είναι περιοδικά .

Όμως τόσο η περίπτωση $a \equiv 5 \bmod 12, b \equiv c \equiv 1 \bmod 12$ όσο και η $a \equiv 9 \bmod 12, b \equiv c \equiv 5 \bmod 12$ καταλήγουν σε άτοπο.

silouan έγραψε:Μια διαφορετική λύση εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h353444

Από τις παραπάνω λύσεις, φαίνεται ότι η άσκηση αυτή, μόνο για Junior δεν είναι!

Παρακαλώ τον Datis - Kalali να είναι πιο προσεκτικός στα θέματα που δημοσιεύει, προσέχοντας και το επίπεδο στο οποίο αναφέρονται!

Ορέστης Λιγνός · #15

Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι
$\frac{ab(a^3+b^3)}{a^2+b^2}+\frac{bc(b^3+c^3)}{b^2+c^2}+\frac{ca(c^3+a^3)}{c^2+a^2} \ge \sqrt{3abc(a^3+b^3+c^3)}$

Η προς απόδειξη γράφεται $P=(\dfrac{ab(a^3+b^3)}{a^2+b^2}+\dfrac{bc(b^3+c^3)}{b^2+c^2}+\dfrac{ca(c^3+a^3)}{c^2+a^2})^2 \geqslant 3abc(a^3+b^3+c^3)$ .

Χρησιμοποιούμε ότι $(k+\ell+m)^2 \geqslant 3k\ell+3\ell m+3mk$ για οποιαδήποτε $k,\ell,m \in \mathbb{R}$ .

Είναι λοιπόν $\displaystyle P \geqslant \sum_{cyclic} \dfrac{3ab^2c(a^3+b^3)(b^3+c^3)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}$ .

Αρκεί λοιπόν $\displaystyle \sum_{cyclic} \dfrac{3ab^2c(a^3+b^3)(b^3+c^3)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)} \geqslant 3abc(a^3+b^3+c^3)$ η ισοδύναμα,

$\displaystyle \sum_{cyclic} \dfrac{b(a^3+b^3)(b^3+c^3)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)} \geqslant a^3+b^3+c^3$ , που μετά τις πράξεις (!) δίνει

$\displaystyle \sum_{cyclic} a^4(b-c)^2 \geqslant 0$ , που ισχύει.

Το ίσον αν a=b=c

.

knm2608 · #16

Datis-Kalali έγραψε:
Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι
$\frac{ab(a^3+b^3)}{a^2+b^2}+\frac{bc(b^3+c^3)}{b^2+c^2}+\frac{ca(c^3+a^3)}{c^2+a^2} \ge \sqrt{3abc(a^3+b^3+c^3)}$

Το 2 ήταν και εδώ
https://artofproblemsolving.com/community/c6h247723

Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων

Μέλη σε σύνδεση