Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Θεωρία Αριθμών

Datis-Kalali · #1

Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
1) Να δείξετε οτι δεν υπάρχουν ρητοί αριθμοί x,y,z

έτσι ώστε

(Βουλγαρία 1997)

2) Αν x,y,z

είναι θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε (xy+1)(yz+1)(zx+1)

είναι τέλειο τετράγωνο,
να δείξετε ότι οι αριθμοί xy+1

,

και

είναι επίσης τέλεια τετράγωνα
(Σημείωση : Ένας αριθμός

είναι τέλειο τετράγωνο αν a=k^2

με $k \in \mathbb{Z}$ )

#2

Datis-Kalali έγραψε: 1) Να δείξετε οτι δεν υπάρχουν ρητοί αριθμοί έτσι ώστε

Έστω ότι υπάρχουν. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x = a/q,y=b/q

και

όπου

θετικός ακέραιος και a,b,c

ακέραιοι ώστε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των a,b,c,q

να ισούται με

.

Περίπτωση 1: Αν ο

περιττός τότε έχουμε

$\displaystyle{ (2a+3q)^2 + (2b+3q)^2 + (2c+3q)^2 = 4(a^2+b^2+c^2) + 12q(a+b+c) + 27q^2 = 7q^2}$

Αλλά $q^2 \equiv 1 \bmod 8$ και άρα $(2a+3q)^2 + (2b+3q)^2 + (2c+3q)^2 \equiv 7 \bmod 8$ . Όμως τα τέλεια τετράγωνα $\bmod 8$ είναι τα 0,1,4

οπότε δεν μπορούμε να έχουμε άθροισμα τριών τετραγώνων ισότιμο με $7 \bmod 8$ , άτοπο.

Περίπτωση 2: Αν ο

άρτιος, έστω q = 2k

τότε έχουμε

$\displaystyle{ (a+3k)^2 + (b+3k)^2 + (c+3k)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 3q(a+b+c) + 27k^2 = 7k^2}$

Πρέπει και ο

να είναι άρτιος αλλιώς καταλήγουμε σε άτοπο όπως στην περίπτωση 1. Τότε όμως είναι $(a+3k)^2 + (b+3k)^2 + (c+3k)^2 \equiv 4 \bmod 8$ και άρα πρέπει δύο από τα $(a+3k)^2,\, (b+3k)^2,\, (c+3k)^2$ να είναι ισότιμα με $0 \bmod 8$ και το άλλο με $4 \bmod 8$ . Σε κάθε περίπτωση τα a+3k,b+3k,c+3k

είναι όλα άρτια που δίνει ότι και οι a,b,c

είναι όλοι άρτιοι. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού τα a,b,c,q

θα έχουν κοινό διαιρέτη το

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Datis-Kalali έγραψε:Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών
1) Να δείξετε οτι δεν υπάρχουν ρητοί αριθμοί έτσι ώστε

(Βουλγαρία 1997)

Μια παρατήρηση.
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής:
Δεν υπάρχουν ρητοί a,b,c

με $a^{2}+b^{2}+c^{2}=7$

Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Θεωρία Αριθμών

Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Θεωρία Αριθμών

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Θεωρία Αριθμών

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς-Θεωρία Αριθμών

Μέλη σε σύνδεση