ΘΑΛΗΣ 2023

[Giannis Masterio]

Παραθέτω τη λυση μου για το Π3 της Γ Λυκείου και ελπίζω αυτό να το έχω λύσει σωστά :
Για n=1 βρισκω Α=20235 που δεν ειναι τελειο τετράγωνο.
Αν υπάρχει τέλειο τετράγωνο τέτοιο θα λήγει σε 5 αρα θα είναι τετράγωνο ακεραίου πολλαπλάσιου του 5.
Για n>=2 ο n-1 ειναι θετικός ακέραιος και έχω :

Οπότε :

Από όπου διαιρωντας με το 5


Αρα αφού το 5 διαιρεί τον εναν όρο πρέπει να διαιρεί και τον άσσο , άτοπο . Άρα δεν υπάρχει τέτοιος n.

[Παπαδόπουλος Κώστας]

Αν και είναι νωρίς γνωρίζουμε πότε περίπου θα βγουν τα αποτελέσματα;

[Batapan]

Βάζω τη λύση μου για τη Γεωμετρία Β λυκείου
Έστω και

άρα

Φέρνω την προβολή του Δ πάνω στην ΑΓ (έστω Θ)
Αρκει για να δείξω πως ότι ΜΘΗΔ εγγράψιμο
Ισοδύναμα , αρκει (γωνίες) ΗΜΘ=ΘΔΓ

Από τα δεδομένα, βλέπουμε πως άρα

και παραλληλα από το ,


Επομένως και επειδή ισοσκελές,
Άρα απο το ορθογώνιο ,

και παράλληλα , ΓΔΘ(γωνία) = απο το ΔΘΓ, επομένως ΜΘΔΗ εγγράψιμο και εδω τελειώνει η απόδειξη

[Henri van Aubel]

Για τη γεωμετρία της Β Λυκείου μια παρατήρηση είναι να δούμε πως από όπου και μαζί με την παρατήρηση ότι θα πάρουμε και από όπου Το εγγράψιμο στην ουσία τελειώνει την δουλειά, αφού

(η λύση έγινε περιγραφικά...)

[Henri van Aubel]

Αν και είναι νωρίς γνωρίζουμε πότε περίπου θα βγουν τα αποτελέσματα;

Δεν ξέρω. Όσο για τα θέματα της Α λυκ., το πρώτο λύνεται άμεσα αν δείξεις ότι , το δεύτερο λύνεται άμεσα αν φέρεις το σύστημα στην μορφή και το τέταρτο είναι μία γεωμετρία πάρα πολύ βατή. (εκφράζω την προσωπική μου άποψη). Θεωρώ ότι το 3 ήταν μακράν το πιο δύσκολο από τα 4 , λύνεται όμως με γνώσεις θεωρίας αριθμών και όταν τα πρωτοείδα τα θέματα το πρωί (έχω κάποιους μαθητές που δίνουν ), είπα από μέσα μου ότι λίγοι θα γράψουν το 3.

[Aba]

Για το Π3 Γ Λυκείου:
Αν τότε πρέπει
Αλλά
Άρα, πρέπει
Για καμία όμως από τις παραπάνω περιπτώσεις δεν προκύπτει τετράγωνο ακεραίου
Επομένως, δεν υπάρχει που ικανοποιεί την υπόθεση

[Aba]

Για το Π1 Γ Λυκείου:
Αφού τότε
Άρα,
Επομένως, και
Άρα,
Όμοια αποδεικνύουμε ότι
Αν όλοι είναι θετικοί ή όλοι αρνητικοί Α=16
Αν έχουμε έναν θετικό και τρεις αρνητικούς ή έναν αρνητικό και τρεις θετικούς Α=4
Αν είναι δυο θετικοί και δυο αρνητικοί Α=0

[nikos467]

Για το Π1 Γ Λυκείου:
Αφού τότε
Άρα,
Επομένως, και
Άρα,
Όμοια αποδεικνύουμε ότι
Αν όλοι είναι θετικοί Α=16
Αν έχουμε έναν θετικό και τρεις αρνητικούς ή έναν αρνητικό και τρεις θετικούς Α=4
Αν είναι δυο θετικοί και δυο αρνητικοί Α=0

Σε αυτην τη ασκηση έκανα ακριβώς τι εγράψες. Ξέχασα να αναφέρω την περίπτωση όπου ολα είναι αρνητικα αλλά δεν προσθέτει καμία επιπλέον λύση πιστεύεις θα με κόψουν;

[Aba]

Δεν ξέρω εγώ έγραψα και την περίπτωση με τα αρνητικά, απλώς τώρα ξέχασα να την προσθέσω...

[telemathic]

Γ' Λυκείου/Θέμα 4

Παρατηρώ ότι όταν η γωνία τότε το τετράπλευρο είναι εγγραψίμο καθώς .
Άρα, , και συνεπώς η διχοτομεί τη γωνία .
To τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα η είναι και μεσοκάθετος της .

C6_P4.png

[ggb=https://www.geogebra.org/classic/fvhrrvz2][/ggb]

Μια ακόμη προσέγγιση:
Επειδή διχοτόμος και μέσο του ελάσσονος τόξου συνευθειακά. Επειδη ως ακτίνες του περιγεγραμμένου του , αρκεί ισοσκελές. Πράγματι είναι και

[Nick Rapanos]

Γ' Λυκείου/Θέμα 4

Παρατηρώ ότι όταν η γωνία τότε το τετράπλευρο είναι εγγραψίμο καθώς .
Άρα, , και συνεπώς η διχοτομεί τη γωνία .
To τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα η είναι και μεσοκάθετος της .

C6_P4.png

[ggb=https://www.geogebra.org/classic/fvhrrvz2][/ggb]

Μια ακόμη προσέγγιση:
Επειδή διχοτόμος και μέσο του ελάσσονος τόξου συνευθειακά. Επειδη ως ακτίνες του περιγεγραμμένου του , αρκεί ισοσκελές. Πράγματι είναι και

Πολύ ωραία. Να πούμε επίσης ότι και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ βρίσκεται πάνω στον κύκλο ΒΙΟΓ.
Όταν συμμετείχα ενεργά στους διαγωνισμούς ήξερα πολλές "βασικές ιδιότητες" για τα γνωστά σημεία και κύκλους ενός τριγώνου.
Αυτή η άσκηση αξίζει να μπει στην "φαρέτρα" των μαθητών ως μία από αυτές τις βασικές ιδιότητες. Θέλω να πω ότι κάποιες ασκήσεις δεν πρέπει να αντιμετωπίζονται ως απλά ένα ακόμη πρόβλημα που το ξεχνάμε μετά τη λύση του, αλλά ως ένα building block που μπορεί να μας φανεί χρήσιμο στο μέλλον. Είμαι σίγουρος ότι αν ανατρέξω στις σημείωσεις μου από τα παλιά θα βρώ κάπου ένα λήμμα της μορφής:

"Όταν η γωνία Α ενός τριγώνου είναι 60 μοίρες, τότε το ορθόκεντρο, το έγκεντρο, το περίκεντρο, και τα σημεία Β και Γ είναι ομοκυκλικά."

[Nickdpoul]

Καλησπέρα καινούργιος εδώ!
Σήμερα στο Π3 της Γ Λυκείου έγραψα εν συντομία:
Ο θα είναι της μορφής , με μηδενικά.
Άρα θα τελειώνει σε .
Αν ο είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού, θα υπάρχει , ώστε .
Απέδειξα ότι ο θα πρέπει υποχρεωτικά να τελειώνει σε , αφού πήρα όλους του αριθμούς από και έδειξα ότι τελειώνει σε
Έπειτα είπα ότι ο θα έχει τελευταία ψηφία ή ή ή ή ή ή ή ή ή .
Απέδειξα παίρνοντας όλες τις περιπτώσεις μια προς μια, ότι σε κάθε περίπτωση ο θα τελειώνει σε .
Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού ο τελειώνει σε ή για .
Άρα ο δεν υπάρχει.
Άρα ο δεν είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

Ή απόδειξη στην κόλλα ήταν προφανώς πιο αναλυτική. Καταλαβαίνω το ότι το να παίρνεις 20 περιπτώσεις και να τις εξετάζεις μια προς μια δεν είναι κομψό. Η λύση αυτή θεωρείτε πως είναι δεκτή?

Επίσης, γνωρίζει κάποιος πόσο χρειάζεται κάποιος για να πάει στην Ευκλείδη (ή αν είναι συγκριτικό) και πότε θα βγουν τα αποτελέσματα?

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ (ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.): Διόρθωσα την γραφή σε κώδικα LATEX)

[Nick Rapanos]

Καλησπέρα καινούργιος εδώ!
Σήμερα στο Π3 της Γ Λυκείου έγραψα εν συντομία:
Ο Α θα είναι της μορφής Α= 20230...05, με ν-1 μηδενικά.
Άρα θα τελειώνει σε 5.
Αν ο Α είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού, θα υπάρχει α, ώστε α^2 = Α.
Απέδειξα ότι ο α θα πρέπει υποχρεωτικά να τελειώνει σε 5, άφου πήρα όλους του αριθμούς απο 0-9 και έδειξα ότι τελειώνει σε 5.
Έπειτα είπα ότι ο α θα έχει 2 τελευταία ψηφία 05 ή 15 ή 25 ή 35 ή 45 ή 55 ή 65 ή 75 ή 85 ή 95.
Απέδειξα παίρνοντας όλες τις περιπτώσεις μια προς μια, ότι σε κάθε περίπτωση ο Α θα τελείνει σε 25.
Αύτο όμως είναι άτοπο, αφού ο Α τελειώνει σε 05 ή 35 για ν=1.
Άρα ο α δεν υπάρχει.
Άρα ο Α δεν είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

Ή απόδειξη στην κόλλα ήταν προφανώς πιο αναλυτική. Καταλαβαίνω το ότι το να παίρνεις 20 περιπτώσεις και να τις εξετάζεις μια προς μια δεν είναι κομψό. Η λύση αυτή θεωρείτε πως είναι δεκτή?

Επίσης, γνωρίζει κάποιος πόσο χρειάζεται κάποιος για να πάει στην Ευκλείδη (ή αν είναι συγκριτικό) και πότε θα βγουν τα αποτελέσματα?

Γειά σου! Ας σου απαντήσω εγώ με την προσωπική μου άποψη (με βάση την εμπειρία μου σε διαγωνισμούς) χωρίς φυσικά να εκπροσωπώ την ΕΜE:

1. Κάθε λύση είναι λύση. Η κομψότητα δεν βαθμολογείται έξτρα!
2. Νομίζω η λύση σου είναι πολύ κοντά σε αυτή του Giannis Masterio παραπάνω και αυτή είναι και η δική μου λύση στο πρόβλημα. Είναι κρίμα που το έμπλεξες λίγο παραπάνω από όσο χρειαζόταν, αλλά από αυτό που περιγράφεις (και χωρίς να έχω το γραπτό σου μπροστά μου) εγώ θα σου έδινα τους περισσότερους αν όχι όλους τους βαθμούς της άσκησης.
3. Τα αποτελέσματα στους μαθηματικούς διαγωνισμούς είναι πάντα συγκριτικά.

[Henri van Aubel]

Να παρατηρήσουμε ότι στο θέμα 4 της Β γυμνασίου, θα ήταν πιο ''ψαρωτικό '' να λέει: Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αριθμών των μαθητών που δεν επιλέχτηκαν είναι τουλάχιστον ίσο με .

Δηλαδή, ένας ''δολοπλόκος'' θεματοδότης για τα δεδομένα γυμνασίου πάντα θα σκεφτόταν : '' Οκ, κάθε παίκτης από αυτούς που επιλέχτηκαν έχει δίπλα του παίκτη με μεγαλύτερο αριθμό, άρα ο παίκτης με τον μεγαλύτερο αριθμό από αυτούς που επιλέχτηκαν έχει αριθμό το πολύ ίσο με και συνεπώς το άθροισμα των αριθμών αυτών που επιλέχτηκαν είναι το πολύ και το άθροισμα των αριθμών αυτών που δεν επιλέχτηκαν είναι τουλάχιστον . ''

Σχόλιο: Οι γεωμετρίες του γυμνασίου ήταν πολύ κατεβασμένου επιπέδου.

[achilleas]

ΘΑΛΗΣ 2023 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΜΑ 2 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

Πρόβλημα 4. Η δασκάλα μιας τάξης 20 παιδιών θέλει να επιλέξει τυχαία κάποια από αυτά για να την εκπροσωπήσουν στη Βουλή. Τοποθετεί τα παιδιά σε έναν κύκλο και τους μοιράζει από ένα φάκελο που μέσα γράφει έναν ακέραιο αριθμό από το 1 έως το 20. Κάθε αριθμός εμφανίζεται μόνο μία φορά. Αφού ανοίξουν τους φακέλους, ένα παιδί επιλέγεται μόνο αν έχει δίπλα του (δεξιά και αριστερά του) ένα παιδί με μικρότερο αριθμό και ένα παιδί με μεγαλύτερο αριθμό. Τελικά επιλέχθηκαν 7 παιδιά. Είναι δυνατόν το άθροισμα των αριθμών που είχαν τα παιδιά που επιλέχθηκαν να είναι 113;
**************************************************************************************************************************************

Σε συνέχεια του παραπάνω προβλήματος, ποιο είναι το μέγιστο δυνατό άθροισμα των αριθμών που μπορεί να έχουν τα παιδιά που επιλέχθηκαν;

[Nikitas K.]

Π1. Γ' Λυκείου:

Λήμμα:


Απόδειξη:

Έστω, :

• Αν , τότε
  
  
  
  

• Αν , τότε
  
  

Από το λήμμα για έχουμε

Η τιμή της παράστασης είναι ίση με:

• μόνο αν δύο αριθμοί είναι θετικοί και οι υπόλοιποι δύο αριθμοί είναι αρνητικοί.

• μόνο αν ένας αριθμός είναι θετικός/αρνητικός και οι υπόλοιποι τρεις είναι αρνητικοί/θετικοί αντιστοίχως.

• μόνο αν όλοι οι αριθμοί είναι ομόσημοι.

[Al.Koutsouridis]

Β' Λυκείου

Πρόβλημα 4. Δίνεται τρίγωνο με και το σημείο τομής των διχοτόμων του . Έστω ότι η ευθεία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Θεωρούμε σημείο στην πλευρά τέτοιο ώστε , και σημείο στην πλευρά τέτοιο ώστε . Αν είναι το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την (διαφορετικό από το), να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στην .

Λύση: Στα ισοσκελή τρίγωνα , οι ευθείες , αντίστοιχα είναι διχοτόμοι, άρα και μεσοκάθετη των τμημάτων , . Οπότε τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.

Έχουμε

.

.

Επομένως θα έχουμε .

Όμως ( εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Ισχύει δηλαδή ότι, , όπου το ύψος του τριγώνου από την κορυφή . Άρα και εφόσον θα είναι και .

geogebra-export.png (154.59 KiB) Προβλήθηκε 5037 φορές

Υγ. 1 Μου άρεσαν το πρόβλημα 4 της Β' Γυμνασίου, το πρώτο προβλημα του Λυκείου και το πρόβλημα 4 της Β' Λυκείου. Θεωρώ ότι το πρόβλημα 3 της Γ' Λυκείου είναι πιο εύκολο από τα αντίστοιχα των Α', Β' Λυκείου και πιο εύκολο από το πρόβλημα 1,2 της Γ' Λυκείου.

Υγ 2. Καλό είναι όσες δημοσιεύσεις παραπάνω δεν είναι σε , να μετατραπούν κάποια στιγμή. Η ποιότητα "ανάγνωσης" του νήματος με σχέση άλλες χρονιές είναι χειρότερη. Επίσης καλό είναι, όταν κάποιος ανοίγει το νήμα, να έχει και τα θέματα έτοιμα. Ήδη υπάρχουν 3 νήματα με τίτλο "Θαλής" 2023.

[S.E.Louridas]

Απλά και μόνο για λόγους πλουραλισμού για το πρόβλημα της θεωρίας αριθμών Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (και επειδή μου άρεσε όταν το είδα σήμερα):

Έστω ότι υπάρχει θετικός ακέραιος για τον οποίο να προσδιορίζεται ακέραιος διάφορος του μηδενός τέτοιος που τότε το θα διαιρεί το δεύτερο μέλος αφού είναι γινόμενο τριών διαδοχικών ακέραιων αριθμών. Άρα ο θα διαιρεί και το πρώτο μέλος οπότε επομένως προκύπτει ή άρα θα έχουμε πράγμα άτοπο.

[Λευτέρης Παπανικολάου]

Άλλη μία λύση για το πρόβλημα της Γεωμετρίας Β Λυκείου

[Τσιαλας Νικολαος]

Μόλις αναρτήθηκαν τα αποτελέσματα! Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!