ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

[Προδρομος Κωνσταντάς]

Για τα θέματα μεγάλων. Το πρώτο βγήκε σχετικά εύκολα με βιετα. Το δεύτερο δεν το κοίταξα καν. Το τρίτο δεν μπορέσω να βγάλω κάτι. Στο τέταρτο κατάφερα να αποδείξω πως δεν ισχύει για y άρτιος μέχρι εκεί

[silouan]

Μετά καταλήγεις σε άτοπο και στις τέσσερις περιπτώσεις

Δεν βλέπω κάποιο άτοπο.

[Belias]

Μια άλλη λύση για το 4ο των senior
Έστω ότι υπάρχουν ώστε .
Αν ο άρτιος, , . Τότε , άρα το επίσης άρτιο , .
Έπεται . Ο πρέπει να είναι περιττός, άρα η αριστερή μεριά αφήνει υπόλοιπο με το , που είναι άτοπο αφού η δεξιά μεριά είτε δε διαιρείται από το είτε διαιρείται από το .
Αν ο περιττός, τότε.
αφήνει υπόλοιπο με το , άρα υπάρχει πρώτος αριθμός , ώστε και .
Από σύμβολο Legendre, αφού , Άτοπο
Άρα δεν υπάρχει τέτοιος συνεπώς η αρχική δεν έχει λύσεις στους

[achilleas]

Μια άλλη λύση για το 4ο των senior
Έστω ότι υπάρχουν ώστε .
Αν ο άρτιος, , . Τότε , άρα το επίσης άρτιο , .
Έπεται . Ο πρέπει να είναι περιττός, άρα η αριστερή μεριά αφήνει υπόλοιπο με το , που είναι άτοπο αφού η δεξιά μεριά είτε δε διαιρείται από το είτε διαιρείται από το .
Αν ο περιττός, τότε.
αφήνει υπόλοιπο με το , άρα υπάρχει πρώτος αριθμός , ώστε και .
Από σύμβολο Legendre, αφού , Άτοπο
Άρα δεν υπάρχει τέτοιος συνεπώς η αρχική δεν έχει λύσεις στους

Ας συμπληρωθεί ότι η παραπάνω λύση είναι αυτή που δημοσιεύθηκε εδώ.

[Belias]

Ας συμπληρωθεί ότι η παραπάνω λύση είναι αυτή που δημοσιεύθηκε εδώ.

Σωστά

[Mathmagic24]

Βγήκαν οι λύσεις...
Πιο εύκολο το Legendre από την προτεινόμενη λύση για το θέμα 4 των μεγάλων

[achilleas]

Βγήκαν οι λύσεις...
Πιο εύκολο το Legendre από την προτεινόμενη λύση για το θέμα 4 των μεγάλων

Χαχα...με Legendre γίνεται. Απλά παραλείπονται οι λεπτομέρειες, αφού οι λύσεις είναι ενδεικτικές.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Μερικές παρατηρήσεις για την λύση κάποιων θεμάτων.
ΜΕΓΑΛΟΙ.
Το πρόβλημα 2 θα μπορούσε να λυθεί με τριγωνομετρία.
Συγκεκριμένα .
Αν η ΜΗ τέμνει την ΑΔ στο Κ και η ΝΘ το Λ τότε η ΑΚ και ΑΛ υπολογίζονται σαν συναρτήσεις των γωνιών του τριγώνου και των γωνιών
ΒΑΔ,ΔΑΓ.
Μάλιστα αρκεί να υπολογίσουμε μόνο την μια. Η άλλη θα είναι ανάλογη.
Εύκολα βλέπουμε ότι είναι ίσες.
(Απλοί υπολογισμοί και ένα θεώρημα ημιτόνων).
ΜΙΚΡΟΙ.
Στο πρόβλημα 1 αρκεί να τα δούμε σαν ευθείες.
Το πρόβλημα 3 μπορεί να λυθεί αν κάνουμε ομογενοποίηση.
Δηλαδή να πολλαπλασιάσουμε με (α+β) τα δύο πρώτα και με (α+β) στο τετράγωνο το 5/4.
Στο πρώτο μέλος θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ανισότητα αναδιάταξης.
Το πρόβλημα 4 μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία.

[Nick Rapanos]

Για το 2 των Μεγάλων, προφανώς οι ΜΗ και ΝΘ είναι φορείς υψών στο ΑΜΝ (όπως παρατηρεί και ο κύριος Μπάμπης), επομένως αρκεί να δείξουμε οτι η ΑΔ είναι κάθετη στη ΜΝ. Έστω F το σημείο τομής του κύκλου ΒΗΕ και της ΑΔ. Από εγγραψιμότητα, παραλληλίες, και angle chasing μπορώ να δείξω ότι η γωνία BFA είναι ίση με τη γωνία Γ του τριγώνου, άρα το F είναι πάνω στον κύκλο του ΑΒΓ. Άρα η γωνία AFΓ είναι ίση με τη γωνία B, επομένως ίση και με τη γωνία ΑΝΖ, και τελικά το F βρίσκεται πάνω στον κύκλο ΓΘΖ. Επείδη οι ΜΕ και ΖΝ είναι διάμετροι, έχουμε οτι MF κάθετη στην ΑΔ και FN επίσης κάθετη στην ΑΔ, άρα τα σημεία Μ, F, N είναι συνεθειακά και η ΜΝ είναι κάθετη στην ΑΔ.

Σημείωση. Μπορούμε επίσης να δείξουμε ότι Ο1, F, O2 είναι συνευθειακά, επίσης αν Ο είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ τότε ΟF κάθετη στην Ο1Ο2, οι κύκλοι Ο1 και Ο2 εφάπτονται στο F, το οποίο είναι και το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων (και ΟF o ριζικός άξονας των Ο1 και Ο2). Πραγματικά, ωραίο σχήμα και ωραίο πρόβλημα.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Για το 2 των μεγάλων.
Αν προεκτείνουμε τις τέμνουν τις στα σημεία .
Το σημείο είναι ορθόκεντρο του και οι είναι αντιπαράλληλες της , άρα παράλληλες της .
Μπορούμε τώρα να παρατηρήσουμε ότι το είναι ορθόκεντρο και των τριγώνων (καθώς η είαι κάθετη στις ). Eπομένως η είναι κάθετη με τις .
Όμως οι είναι φορείς υψών του τριγώνου , επομένως τέμνονται πάνω στο ύψος με φορέα την .

[mingas dimitrios]

γνωρίζετε πότε περίπου θα δημοσιευθούν τα αποτελέσματα?

[Kath]

Πέρσι είχαν ανακοινωθεί 5/3!

[Math's]

Πότε πιστεύεται ότι θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα του Αρχιμήδη. Αν ξέρει κάποιος μέλος της Επιτροπής αν του είναι εύκολα ας ενημερώσει για να μας φύγει το κόλλημα. Επίσης αν ξέρει κάποιος γιατί έχουν αργήσει; Μια ερώτηση για τους μαθητές του γυμνασίου: Πώς σας φάνηκαν τα θέματα ,πόσα είχατε σωστά λυμένα στην κόλλα σας όταν το παραδώσετε;

Με εκτίμηση,
Καλό Βράδυ!

[Math's]

Ποια μέρα να περιμένουμε τα αποτελέσματα; Υπάρχει περίπτωση να ανακοινωθούν το Σαββατοκύριακο;

[achilleas]

Επιτυχόντες Λυκείου

Επιτυχόντες Γυμνασίου

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους!

[mfw240]

Συγχαρητήρια σε όλους!
Γνωρίζετε ποιοι ακριβώς έχουν την δυνατότητα να συμμετάσχουν στον Προκριματικό;

[Τσιαλας Νικολαος]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά! Αν κάποιος συνάδελφος βρεθεί στον Προκριματικό και θέλει "παρέα" ας στείλει μήνυμα.

[Math's]

Συγχαρητήρια

[Τσιαλας Νικολαος]

Ξέρουμε τις βάσεις για τα παιδιά που πήραν μετάλλιο ;
Πέρασα και εγώ από Ε δημοτικού.

Πολλά συγχαρητήρια. Οι βάσεις δεν ανακοινώνονται!!!

[SmbdTLv]

Συγχαρητήρια

Συγχαρητήρια και σε εσένα, που Ε' δημοτικού παίρνεις μετάλλια στην ΕΜΟ! Θα είσαι ασφαλώς ο Βίκτωρ!

Ως μαθητής και εγώ, (και μάλιστα επίσης επιτυχών), θα ήθελα να σε ρωτήσω ποιες είναι οι προοπτικές σου για το μέλλον; Υποθέτω θες να ασχοληθείς με τα μαθηματικά! Πώς νιώθεις για τον Προκριματικό; Ευελπιστείς να συμμετάσχεις στην Εθνική Ομάδα;

Θα ήθελα να σου πω ότι είσαι ένα αστέρι, και να σου υποβάλλω και τα σέβη μου, γιατί λίγα μυαλά αποτυπώνουν την παρουσία τους στον χώρο των μαθηματικών από τόσο νωρίς!

Περιμένουμε πολλά, αλλά εσύ σίγουρα θα φέρεις ακόμη περισσότερα!
Ξανά συγχαρητήρια!
(Συγχαρητήρια και στον μαθητή Ορφέα Παπαβέντση που φοιτά στην ΣΤ΄ Δημοτικού, αλλά για κάποιον λόγο αναγράφεται στην Β΄ Γυμνασίου, και ο οποίος απέσπασε επίσης αργυρούν μετάλλιο)