EGMO2024

#1

EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία

1η μέρα - 13 Απριλίου 2024

Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί

και

είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες:

(i) Εάν οι

και

είναι διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, τότε μπορούμε να γράψουμε τον a+b

στον πίνακα, αν δεν είναι ήδη εκεί.

(ii) Εάν οι a, b

και

είναι τρεις διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, και αν ο ακέραιος αριθμός

ικανοποιεί την ax^2 + bx + c = 0

, τότε μπορούμε να γράψουμε τον

στον πίνακα, αν δεν είναι ήδη εκεί.

Να βρείτε όλα τα ζεύγη των αρχικών αριθμών (u,v)

από τα οποία μπορεί τελικά να γραφεί στον πίνακα οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων.

Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο ABC

με

, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του

. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του BC,CA,AB

στα σημεία D,E,F

, αντίστοιχα. Έστω

και

δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\wideparen{DE}$ του εγγεγραμμένου κύκλου, αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle BXD = \angle DYC$ . Έστω ότι η ευθεία

τέμνει την ευθεία

στο

. Έστω

το σημείο του $\Omega$ τέτοιο, ώστε η

να είναι εφαπτόμενη στον $\Omega$ , και το

να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας

με το σημείο

. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες

και

τέμνονται στον $\Omega$ .

Πρόβλημα 3. Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό

παράξενο αν, για κάθε θετικό διαιρέτη

του

, ο ακέραιος d(d+1)

διαιρεί τον n(n+1)

. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε τέσσερεις διαφορετικούς παράξενους αριθμούς

,

και

, ισχύει ότι

$\displaystyle{ \gcd(A,B,C,D)=1. }$

Εδώ $\gcd(A,B,C,D)$ είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των A,B,C

και

.

2nisic · #2

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία

Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο με , ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του . Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω και δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\wideparen{DE}$ του εγγεγραμμένου κύκλου, αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle BXD = \angle DYC$ . Έστω ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία στο . Έστω το σημείο του $\Omega$ τέτοιο, ώστε η να είναι εφαπτόμενη στον $\Omega$ , και το να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας με το σημείο . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται στον $\Omega$ .

$\angle BXY=\angle BXD+\angle DXY=\angle DYC+\angle YDC=180-\angle BCY$ από οπου έχουμε ότι τα X,Y,C,B

είναι ομοκυκλικα.
Οπότε από δύναμη σημείου έχουμε KD^2=KX*KY=KB*KC

που μας δίνει ότι το

ανήκει στον ριζικο άξονα των [unparseable or potentially dangerous latex formula] και στην ευθεία

.

Έστω τώρα

να είναι το A-inside-Sharky-Devil

point και έστω ακόμη

το μεσο του τοξου BAC

Είναι γνωστο ότι T,D,M

συνευθειακα.
Θα δείξουμε τώρα ότι NT,EF,BC,RM

συντρέχουν.
Έστω $S=EF\cap BC$ τότε: $-1=(S,D/B,C)=(TS\cap (ABC),M/B,C)$ (με προβολή από το

στον

αλλά

οπότε τα

είναι συνευθειακα.
Κοιτάζουμε τώρα των κύκλο TSD

και παρατηρούμε ότι είναι ο απολλώνιος κύκλος του TBC

οπότε θα εχει κέντρο το σημείο

που θα ανήκει στην $SD\equiv BC$ και Κ'Τ

θα εφάπτεται στον $(TBC)\equiv (ABC)$
Παρατηρούμε τώρα ότι K'D^2=K'T^2=KB*KC

οπότε τελικά $K' \equiv K$ οπως θέλαμε

2nisic · #3

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία

1η μέρα - 13 Απριλίου 2024

Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί και είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες:

(i) Εάν οι και είναι διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, τότε μπορούμε να γράψουμε τον στον πίνακα, αν δεν είναι ήδη εκεί.

(ii) Εάν οι και είναι τρεις διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, και αν ο ακέραιος αριθμός ικανοποιεί την , τότε μπορούμε να γράψουμε τον στον πίνακα, αν δεν είναι ήδη εκεί.

Να βρείτε όλα τα ζεύγη των αρχικών αριθμών από τα οποία μπορεί τελικά να γραφεί στον πίνακα οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων.

Αν οι αρχική αριθμοί u,v

είναι και οι δυο αρνιτικοι τότε δεν μπορούμε να φταίξουμε ποτέ θετικο αριθμό.
Αν κάποιος είναι ισος με το μηδέν τότε δεν μπορούμε να φταίξουμε κανέναν.
Έστω τώρα ότι έχουμε έναν θετικο και έναν αρνητικο τότε προσθέτοντας πολλές φορες των θετικο θα φτασουμε σε θετικο αριθμό η στο μηδέν.
Αν φτασουμε στο μηδέν τότε στον πίνακα θα έχουμε γράψει τους αριθμου -a,0,a

οπότε από την κίνηση 2 παρατηρούμε τώρα ότι 0*1^2+1(-a)+a=0

οπότε το

θα μπορούμε να το γράψουμε στον πίνακα. Με την κίνηση 1 γράφουμε τον a+1

και συνεχίζουμε οπως από κάτω.(Αυτο μπορουμε να το κανουμε μονο αν $a\neq 1$ η αν υπάρχει κάποιος άλλος αριθμός στον πίνακα διάφορος του

.Οποτε στην περίπτωση που το αρχκο ζεύγος είναι το (-1,1)

μπορούμε να φταίξουμε το

και μετα κανέναν άλλο αριθμό.) Ευχαριστώ των achilleas επειδή δεν το είχα προσέξει ότι το (-1,1)

δεν ικανοποιεί.
Σε κάθε άλλη περίπτωση θα έχουμε δυο θετικούς αριθμούς έστω a,b

με

εφαρμόζοντας την κίνηση (1) πολλές φορες θα μπορέσουμε να γράψουμε ολους τους αριθμούς d*n

με

.(https://artofproblemsolving.com/wiki/in ... et_Theorem)
Με τα πολλαπλάσια του

μπορούμε να εφαρμόσουμε την κίνηση 2 για να γράψουμε στον πίνακα τον αριθμό

.Τωρα αφού μπορούμε να γράψουμε κάθε αριθμό d*n

με

κάνοντας την κίνηση 1 με το

μπορούμε να γράψουμε κάθε ακέραιο αριθμό.

Αρα όλα τα καλα ζεύγη

u,v

είναι αυτά που περιέχουν τουλάχιστον έναν θετικο ακέραιο εκτός από τα (-1,1),(a,0)

2nisic · #4

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία

Πρόβλημα 3. Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό παράξενο αν, για κάθε θετικό διαιρέτη του , ο ακέραιος διαιρεί τον . Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε τέσσερεις διαφορετικούς παράξενους αριθμούς , , και , ισχύει ότι

$\displaystyle{ \gcd(A,B,C,D)=1. }$

Εδώ $\gcd(A,B,C,D)$ είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των και .

Έστω ότι υπάρχει πρώτος

για τον οποίο r^2|n

τότε για $d=\frac{n}{r}$ έχουμε:
$\frac{n}{r}(\frac{n}{r}+1)|n(n+1)\Rightarrow \frac{n}{r}+1|r(n+1)\Rightarrow \frac{n}{r}+1|n+1$ η τελευταία επειδή r^2|n

Παρατηρούμε τώρα ότι: $r-1<\frac{n+1}{\frac{n}{r}+1}<r$ άτοπο.

Έστω τώρα n=p_1*...p_a

(με

)για

έχουμε: $m(m+1)|n(n+1)\Rightarrow m+1|p_1(mp_1+1)$
Αλλα για a>=3

παρατηρούμε ότι :
$p_1^2-1<\frac{mp_1^2+1}{m+1}<p_1^2$ άτοπο

Αρα η παράξενη αριθμοί έχουν την μορφή n=p,pq

Για

περνούμε:

(1)και

(2)
Αν κάποιος είναι ο

δεν έχουμε λύση οπότε και οι δυο θα είναι περιττή.
Αν p>q

τότε

και για αυτό λογο της (1) θα πρέπει q|p+1

λογο της (2) τώρα επειδή (q+1,p)=1

θα έχουμε

Οπότε: $p\equiv 1(modq+1),p\equiv -1(modq)\Rightarrow p=q^2-q-1(modq(q+1))$
Αλλά $p+1|q(q-1)\Rightarrow p\leqslant q^2-q-1$ οπότε θα έχουμε

Έστω προς άτομο ότι υπάρχει τετράδα με $(A,B,C,D)\neq 1$ τότε τρεις από αυτούς θα έχουν την μορφή pq_1,pq_2,pq_3

Αν δυο τα

είναι μεγαλύτερα από

θα έχουμε

άτοπο αφού είναι διαφορετικά. Όμοια αν είναι μικρότερα του

.

#5

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί και είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες:

(i) Εάν οι και είναι διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, τότε μπορούμε να γράψουμε τον στον πίνακα, αν δεν είναι ήδη εκεί.

(ii) Εάν οι και είναι τρεις διαφορετικοί αριθμοί στον πίνακα, και αν ο ακέραιος αριθμός ικανοποιεί την , τότε μπορούμε να γράψουμε τον στον πίνακα, αν δεν είναι ήδη εκεί.

Να βρείτε όλα τα ζεύγη των αρχικών αριθμών από τα οποία μπορεί τελικά να γραφεί στον πίνακα οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων.

Λύση. Ας υποθέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι u<v

. Πρώτα, σημειώνουμε ότι εάν ένα από τους

ή

είναι ίσος με

, τότε δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα τρίτο αριθμό εκτός από αυτούς για να χρησιμοποιήσουμε την (ii).

Επίσης, εάν v<0

, δηλαδή και οι δύο είναι αρνητικοί, τότε u+v<0

, και δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν θετικό αριθμό, αφού οι λύσεις της ax^2+bx+c=0

με

δεν μπορούν να είναι θετικές.

Αν u=-1

, και

, τότε μπορούμε μόνο να πάρουμε u+v=0

, και κολλήσαμε.

Για οποιαδήποτε άλλη επιλογή του

ή

, μπορούμε να γράψουμε οποιοδήποτε ακέραιο αριθμό στον πίνακα.

Πράγματι, πρώτα ας εξετάσουμε $u\ne -1$ ή $v\ne 1$ και u<0<v

.

Αν

και

, μπορούμε να πάρουμε όλους τους αριθμούς v-1

,

, ...,

,

χρησιμοποιώντας την (i). Έχοντας δημιουργήσει το

, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να δημιουργήσουμε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό. Καθώς το

είναι λύση της x^2+(v+1)x+v=0

, μπορούμε να δημιουργήσουμε όλους τους αρνητικούς ακεραίους από το

έως το

χρησιμοποιώντας την (i) με το

και το

, και όλους τους ακεραίους μικρότερους του

χρησιμοποιώντας την λειτουργία (i) με το

και το

.

Αν

και

, τότε μπορούμε να πάρουμε το u+v

, το οποίο είναι διαφορετικό από u,v

, και αυτό θα μας δώσει

ως λύση της ux^2+(u+v)x+v=0

. Τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε όλους τους ακεραίους μικρότερους του

χρησιμοποιώντας την (i) με το

, και όλους τους απουσιάζοντες αριθμούς μεταξύ του

και του

χρησιμοποιώντας την (i). Καθώς το

είναι ακέραια λύση της x^2-x-2=0

, μπορούμε να πάρουμε το

και συνεπώς οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Αν u<-1

και

, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (ii) για να πάρουμε το

, και έχουμε τελειώσει από προηγούμενη περίπτωση.

Αν u>0

, τότε $v\geq 2$ , και μπορούμε να δημιουργήσουμε το

από την

. Αυτό θα μας επιτρέψει να χρησιμοποιήσουμε την (i) για να δημιουργήσουμε όλους τους θετικούς ακεραίους, καθώς και το 0. Καθώς το

είναι λύση της x^2+(c+1)x+c=0

, μπορούμε να δημιουργήσουμε οποιονδήποτε ακέραιο μικρότερο ή ίσο με

επίσης.

Τα επιθυμητά αρχικά ζεύγη (u,v)

είναι αυτά με $\min\{u,v\}>0$ ή $\min\{u,v\}<0<\max\{u,v\}$ εκτός από το ζεύγος (-1,1)

.

#6

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο με , ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του . Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω και δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\wideparen{DE}$ του εγγεγραμμένου κύκλου, αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle BXD = \angle DYC$ . Έστω ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία στο . Έστω το σημείο του $\Omega$ τέτοιο, ώστε η να είναι εφαπτόμενη στον $\Omega$ , και το να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας με το σημείο . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται στον $\Omega$ .

Υπάρχουν αρκετά απλούστερες λύσεις μετά την ισότητα , αλλά ας συμπεριλάβουμε και την παρακάτω.

Λύση: Έστω $\vartheta=\angle BXD=\angle DYC$ , $\omega=\angle KYD=\angle XDB$ , και $k=\angle YKC=\angle XKD$ . Αρχικά παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο BXYC

είναι εγγράψιμο, αφού $\angle KBX=\angle BXD+\angle BDX=\angle XYC$ . Ας θέσουμε $\varphi=\angle KXB=\angle YCD$ .

Αφού η

είναι εφαπτόμενη του εγγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ και η

είναι εφαπτόμενη του $\Omega$ στο

, από τη δύναμη σημείου ως προς κύκλο παίρνουμε

$\displaystyle KD^2=KX\cdot KY=KB\cdot KC=KT^2,$

οπότε KD=KT

.

Από τα τρίγωνα $\triangle KXD$ και $\triangle KYC$ έχουμε $\displaystyle \frac{KX}{XD}=\frac{\sin\omega}{\sin k} \quad \text{and}\quad \frac{KY}{YC}=\frac{\sin \varphi}{\sin k}.$

Από το Ratio Lemma, έχουμε

$\displaystyle \frac{KB}{BD}=\frac{KX}{XD}\cdot \frac{\sin \varphi}{\sin \theta}=\frac{\sin\omega}{\sin k}\cdot \frac{\sin \varphi}{\sin \theta} \quad \text{and}\quad \frac{KD}{DC}=\frac{KY}{YC}\cdot \frac{\sin \omega}{\sin \theta}=\frac{\sin \varphi}{\sin k}\cdot \frac{\sin \omega}{\sin \theta}$

Άρα $\dfrac{KD}{DC}=\dfrac{KB}{BD}$ , οπότε $\displaystyle \frac{KD}{KB}=\frac{DC}{BD}.$

Επίσης, τα τρίγωνα $\triangle KTB$ και $\triangle KCT$ είναι όμοια, αφού $\angle KTB= \angle BCK$ , οπότε

$\displaystyle \frac{TC}{TB}=\frac{KT}{KB}=\frac{KD}{KB}=\frac{DC}{BD}.$

Συνεπώς, η

διχοτομεί την γωνία $\angle BTC$ , και άρα η

και η

,ως η διχοτόμος της $\angle BAC$ , τέμνονται στο μέσο

του τόξου

.

miltosk · #7

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο με , ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του . Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω και δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\wideparen{DE}$ του εγγεγραμμένου κύκλου, αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle BXD = \angle DYC$ . Έστω ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία στο . Έστω το σημείο του $\Omega$ τέτοιο, ώστε η να είναι εφαπτόμενη στον $\Omega$ , και το να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας με το σημείο . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται στον $\Omega$ .

Για να δούμε και μία άλλη προσέγγιση.
Αρχικά σύμφωνα με τα δεδομένα και με θ. χορδής -εφαπτομένης στο τρίγωνο DXY

βγαίνει απλά οτι BCXY

εγγράψιμο.
Από δυνάμεις σημείων λοιπόν θα έχουμε KD=KT

Ας μετασχηματίσουμς το αρχικό πρόβλημα στο ακόλουθο ισοδύναμο:
Έστω τρίγωνο ABC

,

το ίχνος του εγκέντρου του στην

και

το μέσο του (μικρού) τόξου

, εννοώ το τόξο που δεν περιέχει το

(θ. Νοτίου πόλου). Έστω ότι η

τέμνει τον κύκλο στο

και η εφαπτομένη στον περικυκλο του ABC

στο

τέμνει την

στο

. Ν.δ.ο

.
Το παραπάνω σαφώς αν λυθεί δίνει το ζητούμενο στο αρχικό (πρακτικά δουλεύουμε αντίστροφα).
Το τελευταίο όμως ισχύει καθώς τα τρίγωνα CDQ

και

είναι όμοια και με θ. χορδής-εφαπτομένης $\hat{TCQ} = \hat{KTD}$

#8

EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία

2η μέρα - 14 Απριλίου 2024

Πρόβλημα 4. Για μια ακολουθία $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ ακέραιων αριθμών, ένα ζεύγος (a_i, a_j)

με $1 \le i < j \le n$ ονομάζεται ενδιαφέρον εάν υπάρχει ζεύγος $(a_k, a_\ell)$ με $1 \le k < \ell \le n$ τέτοιο, ώστε

$\displaystyle{\frac {a_\ell-a_k}{a_j-a_i}=2.}$

Για κάθε $n \ge 3$ , να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από ενδιαφέροντα ζεύγη σε μια ακολουθία μήκους

.

Πρόβλημα 5. Έστω $\mathbb N$ το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθμών. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$ τέτοιες, ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων (x,y)

:

(i) Ο

και ο

έχουν το ίδιο πλήθος θετικών διαιρετών.

(ii) Αν ο

δεν διαιρεί τον

και ο

δεν διαιρεί τον

, τότε $\displaystyle \gcd (f(x), f(y))>f(\gcd(x,y)).$

Εδώ ο $\gcd(m,n)$ είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των

και

.

Πρόβλημα 6. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς

για τους οποίους υπάρχει πολυώνυμο

βαθμού

με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο, ώστε να υπάρχουν το πολύ

διαφορετικές τιμές ανάμεσα στις $P(0),P(1),P(2),\dots,P(d^2-d)$ .

S.E.Louridas · #9

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 13, 2024 1:09 pm
Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο με , ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του . Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω και δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\wideparen{DE}$ του εγγεγραμμένου κύκλου, αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle BXD = \angle DYC$ . Έστω ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία στο . Έστω το σημείο του $\Omega$ τέτοιο, ώστε η να είναι εφαπτόμενη στον $\Omega$ , και το να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας με το σημείο . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται στον $\Omega$

Για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού και για να δούμε τον ρόλο του μονοσήμαντα ορισμένου μεγέθους.

Ενώνουμε το μέσο

με το

και ονομάζουμε

το σημείο τομής της ημιευθείας

με τον περιγεγραμμένο κύκλο.
Παρατηρούμε ότι $L \equiv \left\{ {DI} \right\} \cap \left\{ {OQ} \right\} \Rightarrow LD = LQ\;\; (1).$
Θεωρούμε

το σημείο τομής της εφαπτομένης στον κύκλο με σημείο επαφής το

με την

Εδώ με βάση την (1)

παίρνουμε $K'D = K'Q \Rightarrow K'X \cdot K'Y' = K'{D^2} = K'{Q^2} = K'B \cdot K'C,$ αν

είναι η τομή της ημιευθείας K'X

με τον εγγεγραμμένο κύκλο. Από την ομοιότητα πλέον των τριγώνων που δημιουργείται έχουμε
$\angle K'XB = \angle Y'CB,\;\,\angle DXY' = \angle CDY' \Rightarrow$ $\angle BXD = \angle DY'C \Rightarrow Y' \equiv Y \Rightarrow K' \equiv K \Rightarrow Q \equiv T.$

: cont.png (80.22 KiB) Προβλήθηκε 1400 φορές

EGMO2024

EGMO2024

Re: EGMO2024

Re: EGMO2024

Re: EGMO2024

Re: EGMO2024

Re: EGMO2024

Re: EGMO2024

Re: EGMO2024

Re: EGMO2024

Μέλη σε σύνδεση