Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (8η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 8ης τάξης για την 2η φάση, 19 Φεβρουαρίου 2023.


1. Στην βάση τραπέζιου βρέθηκε τέτοιο σημείο , ώστε και . Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομή των διαγώνιων του τραπέζιου βρίσκεται στην διχοτόμο της γωνίας .

2. Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς , για τους οποίους η δεκαδική αναπαράσταση του αριθμού ξεκινάει με τον αριθμό .

3. Σε κύκλο είναι τοποθετημένα ποτήρια, μερικά από αυτά περιέχουν νερό, και τα υπόλοιπα χυμό λεύκας, εξάλλου δεν υπάρχουν τρία ποτήρια στην σειρά με το ίδιο υγρό. Με μια κίνηση επιτρέπεται να πιούμε από ένα ποτήρι. Μπορούμε άραγε με δοκιμές εγγυημένα να προσδιορίσουμε το περιεχόμενο όλων των ποτηριών;

4. Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε στο επίπεδο τέσσερα τετράγωνα ανά δυο διαφορετικών διαστάσεων έτσι, ώστε οποιαδήποτε δυο τετράγωνα να έχουν κοινή κορυφή, αλλά καμία τριάδα να μην έχει κοινή κορυφή;

Καταληκτική αίθουσα

5. Η Μελίνα έχει κομμάτια πλαστελίνης. Με μια κίνηση μπορεί να προσκολλήσει τρία οποιαδήποτε από αυτά σε ένα κομμάτι και ύστερα να το χωρίσει σε τρία ίσα κατά βάρος κομμάτια. Να αποδείξετε, ότι η Μελίνα μπορεί να επιτύχει το εξής, μετά από μερικές κινήσεις μεταξύ των κομματιών πλαστελίνης που θα έχει δε θα βρεθούν τρία, ανά δυο διαφορετικού βάρους.

6. Δίνεται ένας (μη μηδενικός) φυσικός αριθμός . Το άθροισμα μερικών (μη μηδενικών) φυσικών αριθμών ισούται με . Να αποδείξετε, ότι το πλήθος των αριθμών, οι οποίοι είναι διαιρέτες τουλάχιστον ενός εξ αυτών, είναι μικρότερο από .

7. Υπάρχει άραγε κυρτό πολύγωνο, το οποίο μπορεί να διαμεριστεί με μη τεμνόμενες (σε εσωτερικά σημεία) διαγώνιους σε τρίγωνα ίσου εμβαδού τουλάχιστον με τρεις διαφορετικούς τρόπους;


Πηγή

[Demetres]

3. Σε κύκλο είναι τοποθετημένα ποτήρια, μερικά από αυτά περιέχουν νερό, και τα υπόλοιπα χυμό λεύκας, εξάλλου δεν υπάρχουν τρία ποτήρια στην σειρά με το ίδιο υγρό. Με μια κίνηση επιτρέπεται να πιούμε από ένα ποτήρι. Μπορούμε άραγε με δοκιμές εγγυημένα να προσδιορίσουμε το περιεχόμενο όλων των ποτηριών;

Όχι δεν μπορούμε. Βάζουμε τους αριθμούς μέχρι στα ποτήρια διαδοχικά με το ποτήρι να είναι αυτό της πρώτης ερώτησης. Αν είμαστε άτυχοι και όποτε πίνουμε από ποτήρια με αριθμό πίνουμε νερό, ενώ όποτε πίνουμε από τα ποτήρια με αριθμό ή πίνουμε χυμό λεύκας (πρώτη φορά ακούω τέτοιο πράγμα) τότε δεν θα καταφέρουμε να προσδιορίσουμε το περιεχόμενο όλων των ποτηριών με δοκιμές. Αυτό ισχύει διότι τα μόνα ποτήρια που μπορούμε σίγουρα να προσδιορίσουμε χωρίς να τα δοκιμάσουμε είναι αυτά της μορφής . Αλλά ήδη ήπιαμε από ένα από αυτά και έμειναν μόνο το πολύ τα οποία θα μπορέσουμε να προσδιορίσουμε χωρίς δοκιμή. Θέλουμε λοιπόν τουλάχιστον δοκιμές.

[Al.Koutsouridis]

χυμό λεύκας (πρώτη φορά ακούω τέτοιο πράγμα)

Εν τη ροή της μετάφρασης νόμιζα, ότι το δέντρο θα αντιστοιχεί στη Λεύκα. Αντιστοιχεί όμως στο δέντρο Σημύδα (πολύ χαρακτηριστικό δέντρο σε βόρειες χώρες), ο δε χυμός της είναι άχρωμος σαν το νερό, για αυτό και επιλέχθηκε στην εκφώνηση.