Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2009 (8η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 1. Στο πίνακα είναι γραμμένο:

Σε αυτή την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται και με το και με το .

Τοποθετήστε στην θέση των τελειών κάποιους ακέραιους αριθμούς, ώστε ο ισχυρισμός της πρότασης να είναι αληθής.


Πρόβλημα 2. Στην υποτείνουσά ορθογώνιου τριγώνου διαλέγουμε σημείο , για το οποίο . Το τμήμα τέμνει την διχοτόμο στο μέσο της. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου .


Πρόβλημα 3. Είναι γνωστό, ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις και (, και μη μηδενικοί αριθμοί) έχουν κοινή ρίζα. Βρείτε την.


Πρόβλημα 4. Σε κάθε κελί τετραγώνου , εκτός του κεντρικού, είναι τοποθετημένο ένα από δυο σήματα: «στροφή» ή «ευθεία». Αυτοκίνητο εισέρχεται από το εξωτερικό σε τυχαίο κελί του συνόρου του τετραγώνου, ύστερα από το οποίο κινείται παράλληλα προς τις πλευρές των κελιών, τηρώντας δυο κανόνες:

1) Σε κελί με το σήμα «ευθεία» συνεχίζει την κίνηση προς την ίδια κατεύθυνση
2) Σε κελί με το σήμα «στροφή» στρίβει κατά (σε οποιαδήποτε μεριά της δικιάς του επιλογής)

Το κεντρικό κελί το καταλαμβάνει ένα σπίτι. Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε τα σήματα έτσι, ώστε το αυτοκίνητο να μην έχει την δυνατότητα να συγκρουστεί με το σπίτι.


Πρόβλημα 5. Δυο σημεία του επιπέδου δεν είναι δύσκολο να ενωθούν με τρεις τεθλασμένες έτσι, ώστε να προκύψουν δυο ίσα πολύγωνα (για παράδειγμα όπως στο σχήμα). Συνδέστε δυο σημεία με τέσσερις τεθλασμένες έτσι, ώστε όλα τα τρία προκύπτοντα πολύγωνα να είναι ίσα. (Οι τεθλασμένες δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους ούτε με τον εαυτό τους, εκτός των άκρων.)

mmo_2009_class9_pr5.png (9.39 KiB) Προβλήθηκε 2033 φορές

Πρόβλημα 6. Δυο παίχτες με την σειρά γράφουν, ο καθένας στο δικό του ήμισυ του πίνακα, από ένα μη μηδενικό φυσικό αριθμό (επαναλήψεις επιτρέπονται) έτσι, ώστε το άθροισμα όλων των αριθμών στο πίνακα να μη υπερβαίνει το . Μετά από αυτό, καθώς το άθροισμα όλων των αριθμών γίνει ίσο με , το παιχνίδι τελειώνει υπολογίζοντας το άθροισμα των ψηφίων σε κάθε ήμισυ του πίνακα. Κερδίζει αυτός, στου οποίου το ήμισυ το άθροισμα των ψηφίων είναι μικρότερο (σε περίπτωση ίσων αθροισμάτων έχουμε ισοπαλία). Μπορεί κάποιος εκ των δυο παιχτών να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο αντίπαλος;


Στατιστικά: (637 γραπτά)


Πηγή

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη

Πρόβλημα 2. Στην υποτείνουσά ορθογώνιου τριγώνου διαλέγουμε σημείο , για το οποίο . Το τμήμα τέμνει την διχοτόμο στο μέσο της. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου .

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 3. Είναι γνωστό, ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις και (, και μη μηδενικοί αριθμοί) έχουν κοινή ρίζα. Βρείτε την.

Έστω η κοινή ρίζα.

[Al.Koutsouridis]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη

Πρόβλημα 5. Δυο σημεία του επιπέδου δεν είναι δύσκολο να ενωθούν με τρεις τεθλασμένες έτσι, ώστε να προκύψουν δυο ίσα πολύγωνα (για παράδειγμα όπως στο σχήμα). Συνδέστε δυο σημεία με τέσσερις τεθλασμένες έτσι, ώστε όλα τα τρία προκύπτοντα πολύγωνα να είναι ίσα. (Οι τεθλασμένες δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους ούτε με τον εαυτό τους, εκτός των άκρων.)

Το πρόβλημα αυτό φαίνεται να δυσκόλεψε πιο πολύ τους μαθητές της 8ης τάξης, από σύνολο 637 μαθητών κανείς δεν το έλυσε πλήρως και μόνο ένας το προσέγγισε (+-). Παρακάτω μεταφέρω την επίσημη λύση και τα σχόλια που την συνοδεύουν.

Ένα από τα πιθανά παραδείγματα απεικονίζεται στο σχήμα 1. Σε αυτό τα δύο πάνω πολύγωνα ταυτίζονται με περιστροφή γύρω από το σημείο και τα δυο κάτω είναι συμμετρικά ως προς το σημείο .

Screen Shot 2023-04-08 at 17.12.31.png (32.61 KiB) Προβλήθηκε 1237 φορές

Σχήμα 1


Σχόλια.

1. Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να ενώσουμε δυο σημεία και με πέντε τεθλασμένες έτσι, ώστε όλα τα πολύγωνα που προκύπτουν να είναι ίσα. Προκύπτει, ωστόσο, ότι είναι αδύνατο να ενώσουμε δυο σημεία με έξη τεθλασμένες έτσι, ώστε όλα τα πολύγωνα που προκύπτουν να είναι ίσα. Το σχόλιο δεν αναφέρει το παράδειγμα στην περίπτωση των πέντε τεθλασμένων ούτε την απόδειξη για την περίπτωση των έξη. Θα μπορούσε να είναι ένα νέο πρόβλημα. Αλλά και γενικότερα για πιο αριθμό τεθλασμένων υπάρχουν τέτοιες κατασκευές.


2. Ενδιαφέρον είναι, ότι με πολύγωνα τέτοιου είδους μπορούμε να επικαλύψουμε το επίπεδο, μάλιστα με μη περιοδικό τρόπο (Σχήμα 2).

Στο σχόλιο δεν το αναφέρει, αλλά υπάρχει περιοδική επικάλυψη του επιπέδου χρησιμοποιώντας το πολύγωνο του σχήματος 1; (αφορμή για την μεταφορά της λύσης ήταν η δημοσίευση με την μη περιοδική επικάλυψη της μονοψηφίδας εδώ)

Screen Shot 2023-04-08 at 17.12.48.png (217.81 KiB) Προβλήθηκε 1237 φορές

Σχήμα 2


3. Ρίχνοντας μια ματιά στο σχήμα 1, μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί, γιατί μια τέτοια κατασκευή είναι γενικά δυνατή. Θα το εξηγήσουμε.

Παρατηρούμε, ότι είναι αρκετό να κατασκευάσουμε ένα τέτοιο εννιάγωνο , ώστε

(1) Η τεθλασμένη να μεταφέρεται με στροφή γύρω από το σημείο στην τεθλασμένη (Σχήμα 3)

(2) Η τεθλασμένη να είναι κεντρικά συμμετρική

Εξετάζουμε ένα τυχαίο παραλληλόγραμμο , η διαγώνιος του οποίου είναι ίση με την πλευρά του (σχήμα 4). Σε αυτό η κορυφή μεταφέρεται στην κορυφή με περιστροφή γύρω από το σημείο κατά γωνία , άρα ικανοποιείται η συνθήκη (1). Τώρα δεν είναι δύσκολο να επιτύχουμε: μπορούμε να διαλέξουμε δυο σημεία και , ύστερα να διαλέξουμε ως , και τις εικόνες των σημείων , και υπό την παραπάνω στροφή. Ως αναφορά την ικανοποίηση της συνθήκης (2), ικανό και αναγκαίο είναι, το σημείο να είναι το συμμετρικό του ως προς το μέσο του τμήματος .

Μένει μόνο ένα πρόβλημα: το σημείο πρέπει να επιλεγεί έτσι, ώστε ως αποτέλεσμα της παραπάνω κατασκευής να προκύψει όντως πολύγωνο, δηλαδή οι τεθλασμένες και να μην τέμνονται και επίσης και οι δυο να μην τέμνονται με το τμήμα .

Παρατηρούμε, ότι για το πρώτο αρκεί, η τεθλασμένη (άρα και η εικόνα της κατά την στροφή) συνέχεια να απομακρύνεται από το . Πράγματι, τότε κάθε κύκλος με κέντρο το σημείο θα τέμνεται με κάθε μια από τις τεθλασμένες ακριβώς σε ένα σημείο, εξάλλου αυτά τα σημεία δεν μπορούν να ταυτίζονται, εφόσον θα ταυτίζονταν με στροφή μηδενικής γωνίας. Με το τμήμα οι τεθλασμένες δεν τέμνονται, αν όλα τα σημεία τους κείτονται (προβάλλονται σε ευθεία, κάθετη προς την ) αριστερά αυτού του τμήματος.

Όλα τα παραπάνω μπορούν να ικανοποιηθούν, διαλέγοντας ως τέτοιο σημείο της καθέτου προς το , ώστε η γωνία να είναι αμβλεία (για να βρεθεί τέτοιο σημείο, το αρχικό παραλληλόγραμμο πρέπει να επιλεγεί αρκετά μακρόστενο με διαγώνιο αρκετά μεγαλύτερη της πλευράς ).

Screen Shot 2023-04-08 at 17.13.00.png (35.39 KiB) Προβλήθηκε 1237 φορές

Σχήμα 3

Screen Shot 2023-04-08 at 17.13.11.png (18.58 KiB) Προβλήθηκε 1237 φορές

Σχήμα 4


Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 1. Στο πίνακα είναι γραμμένο:

Σε αυτή την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται και με το και με το .

Τοποθετήστε στην θέση των τελειών κάποιους ακέραιους αριθμούς, ώστε ο ισχυρισμός της πρότασης να είναι αληθής.

Αν έχω καταλάβει σωστά το τι ζητάει η άσκηση, έτσι όπως έχει δοθεί στην μετάφραση (Η φράση: "σε αυτή την πρόταση", θεώρησα ότι έλεγε:
"σε αυτόν τον ακέραιο αριθμό"), τότε:

Ας θεωρήσω π.χ τον αριθμό

Τότε:

από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το και το

Άρα μια απάντηση είναι: Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το
των ψηφίων διαιρείται με το και με το .

Φυσικά μπορούν να δοθούν πάρα πολλές απαντήσεις. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τον αριθμό , τότε:

Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων,
διαιρείται με το και το .

(Μήπως κάτι άλλο εννοεί στην εκφώνηση;)

[Al.Koutsouridis]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 1. Στο πίνακα είναι γραμμένο:

Σε αυτή την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται και με το και με το .

Τοποθετήστε στην θέση των τελειών κάποιους ακέραιους αριθμούς, ώστε ο ισχυρισμός της πρότασης να είναι αληθής.

Αν έχω καταλάβει σωστά το τι ζητάει η άσκηση, έτσι όπως έχει δοθεί στην μετάφραση (Η φράση: "σε αυτή την πρόταση", θεώρησα ότι έλεγε:
"σε αυτόν τον ακέραιο αριθμό"), τότε:

Ας θεωρήσω π.χ τον αριθμό

Τότε:

από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το και το

Άρα μια απάντηση είναι: Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το
των ψηφίων διαιρείται με το και με το .

Φυσικά μπορούν να δοθούν πάρα πολλές απαντήσεις. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τον αριθμό , τότε:

Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων,
διαιρείται με το και το .

(Μήπως κάτι άλλο εννοεί στην εκφώνηση;)

Την εκφώνηση την έχω μεταφέρει σωστά. Αυτό που εννοεί είναι, ας χρησιμοποιήσουμε το πρώτο παράδειγμα που δώσατε ως πρόταση:

"Σε αυτήν την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται με το και με το ."

Στην πρόταση συμμετέχουν τα ψηφία . Από αυτά διαιρούνται με το τέσσερα ψηφία από σύνολο δέκα, δηλαδή το των ψηφίων της πρότασης. Άρα, το παράδειγμα αυτό δεν μας δίνει αληθή πρόταση.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 1. Στο πίνακα είναι γραμμένο:

Σε αυτή την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται και με το και με το .

Τοποθετήστε στην θέση των τελειών κάποιους ακέραιους αριθμούς, ώστε ο ισχυρισμός της πρότασης να είναι αληθής.

Αν έχω καταλάβει σωστά το τι ζητάει η άσκηση, έτσι όπως έχει δοθεί στην μετάφραση (Η φράση: "σε αυτή την πρόταση", θεώρησα ότι έλεγε:
"σε αυτόν τον ακέραιο αριθμό"), τότε:

Ας θεωρήσω π.χ τον αριθμό

Τότε:

από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το και το

Άρα μια απάντηση είναι: Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το
των ψηφίων διαιρείται με το και με το .

Φυσικά μπορούν να δοθούν πάρα πολλές απαντήσεις. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τον αριθμό , τότε:

Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων,
διαιρείται με το και το .

(Μήπως κάτι άλλο εννοεί στην εκφώνηση;)

Την εκφώνηση την έχω μεταφέρει σωστά. Αυτό που εννοεί είναι, ας χρησιμοποιήσουμε το πρώτο παράδειγμα που δώσατε ως πρόταση:

"Σε αυτήν την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται με το και με το ."

Στην πρόταση συμμετέχουν τα ψηφία . Από αυτά διαιρούνται με το τέσσερα ψηφία από σύνολο δέκα, δηλαδή το των ψηφίων της πρότασης. Άρα, το παράδειγμα αυτό δεν μας δίνει αληθή πρόταση.

Ωραία. Θεώρησα ότι δεν είχε ίσως αποδοθεί σωστά η μετάφραση. Τώρα έγινε πλήρως κατανοητό για το τι ζητάει.
Οπότε θα το κοιτάξω αύριο ξανά.

[Doloros]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη

Πρόβλημα 2. Στην υποτείνουσά ορθογώνιου τριγώνου διαλέγουμε σημείο , για το οποίο . Το τμήμα τέμνει την διχοτόμο στο μέσο της. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου .

Στο ισοσκελές τρίγωνο φέρνω τη διάμεσο ( που είναι διχοτόμος και ύψος ).

Έστω το συμμετρικό του ως προς ο μέσο της .

Ολυμπιάδα Μόσχας_2009.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο κι έτσι κάθε κίτρινη γωνία είναι :

( η πρώτη ισότητα γιατί είναι οξείες με πλευρές κάθετες)

Οπότε: . Προφανές τώρα

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 8η τάξη


Πρόβλημα 1. Στο πίνακα είναι γραμμένο:

Σε αυτή την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται και με το και με το .

Τοποθετήστε στην θέση των τελειών κάποιους ακέραιους αριθμούς, ώστε ο ισχυρισμός της πρότασης να είναι αληθής.

Αν έχω καταλάβει σωστά το τι ζητάει η άσκηση, έτσι όπως έχει δοθεί στην μετάφραση (Η φράση: "σε αυτή την πρόταση", θεώρησα ότι έλεγε:
"σε αυτόν τον ακέραιο αριθμό"), τότε:

Ας θεωρήσω π.χ τον αριθμό

Τότε:

από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το
από τα ψηφία του διαιρούνται με το και το

Άρα μια απάντηση είναι: Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το
των ψηφίων διαιρείται με το και με το .

Φυσικά μπορούν να δοθούν πάρα πολλές απαντήσεις. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τον αριθμό , τότε:

Το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων,
διαιρείται με το και το .

(Μήπως κάτι άλλο εννοεί στην εκφώνηση;)

Την εκφώνηση την έχω μεταφέρει σωστά. Αυτό που εννοεί είναι, ας χρησιμοποιήσουμε το πρώτο παράδειγμα που δώσατε ως πρόταση:

"Σε αυτήν την πρόταση το των ψηφίων διαιρείται με το , το των ψηφίων διαιρείται με το και το των ψηφίων διαιρείται με το και με το ."

Στην πρόταση συμμετέχουν τα ψηφία . Από αυτά διαιρούνται με το τέσσερα ψηφία από σύνολο δέκα, δηλαδή το των ψηφίων της πρότασης. Άρα, το παράδειγμα αυτό δεν μας δίνει αληθή πρόταση.

Ωραία. Θεώρησα ότι δεν είχε ίσως αποδοθεί σωστά η μετάφραση. Τώρα έγινε πλήρως κατανοητό για το τι ζητάει.
Οπότε θα το κοιτάξω αύριο ξανά.

Ας δούμε την λύση : (Την γράφω πολύ αναλυτικά, για να φανεί η μοναδικότητα της λύσης, αν και αυτό δεν το ζητάει η άσκηση, οπότε
θα μπορούσε κάποιος πολύ πιο σύντομα να βρει την απάντηση)

Αρχικά είναι φανερό, ότι οι ακέραιοι που ζητάμε, πρέπει να είναι οπωσδήποτε διψήφιοι.

Πράγματι, αν ήταν όλοι μονοψήφιοι, έστω , τότε η δοσμένη πρόταση θα περιλάμβανε τα ψηφία: .
Το πλήθος αυτών είναι , οπότε αποκλείεται οι αριθμοί να είναι ακέραιοι (πράγματι, για παράδειγμα τα ψηφία που διαιρούνται
με το θα ήταν τουλάχιστον και το πολύ , οπότε κανένα από τα ποσοστά:
δεν είναι ακέραιο επί τοις %.)

Αν πάλι, ο πρώτος εκ των ακεραίων που ζητάμε ήταν διψήφιος , έστω και οι άλλοι δύο μονοψήφιοι, έστω , τότε η δοσμένη
πρόταση θα περιλάμβανε τα ψηφία , που είναι στο πλήθος. Αν τώρα για παράδειγμα με το διαιρούνταν
μόνο τα δύο δυάρια, τότε το αντίστοιχο ποσοστό θα ήταν , δηλαδή , που είναι άτοπο, αφού τότε θα είναι
και τα δυάρια θα ήταν και όχι . Αν πάλι με το διαιρούνται από τους παραπάνω αριθμούς, τότε το ποσοστό
των ψηφίων που διαιρούνται με το θα είναι που είναι μη ακέραιο ποσοστό επί τοις % και απορρίπτεται.
Αν με το διαιρούνται αριθμοί, τότε το αντίστοιχο ποσοστό θα είναι , δηλαδή , άρα
Τότε η πρόταση θα περιλάμβανε τα ψηφία . Τώρα βλέπουμε ότι με το διαιρούνται τουλάχιστον και το
πολύ αριθμοί οπότε το ποσοστό θα είναι διψήφιος, άτοπο.

Αν τα δύο πρώτα ποσοστά ήταν διψήφιοι, έστω και , και το τρίτο μονοψήφιος, έστω , τότε η δοσμένη πρόταση
θα περιλάμβανε τα ψηφία: , που είναι στο πλήθος και άρα δεν θα ήταν δυνατόν να είχαμε ακέραιο
ποσοστό επί τοις %.

Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι όλα τα ποσοστά που ζητάμε, είναι αριθμοί διψήφιοι, έστω . Τότε η δοσμένη πρόταση
περιλαμβάνει τα ψηφία : τα οποία είναι στο πλήθος, οπότε τα ποσοστά που ζητάμε , αφού είναι
ακέραιοι αριθμοί, θα λήγουν σε μηδέν. Άρα και άρα η πρότασή μας περιλαμβάνει τα ψηφία:
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
(α) . Τότε το ποσοστό των ψηφίων που διαιρούνται με το και το , θα είναι .
Άρα πρέπει να έχουμε μόνο ένα εξάρι. Αν , τότε με το πρέπει να διαιρούνται τα ακριβώς από τα ψηφία.
(δηλαδή τα ψηφία: ). Άρα το δεν πρέπει να διαιρείται με το . Όμως, κοιτώντας το ποιοι αριθμοί
διαιρούνται με το , βλέπουμε ότι είναι οι και το ποσοστό αυτό πρέπει να είναι . Αφού όμως το
δεν πρέπει να διαιρείται με το , ενώ πρέπει και να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του , άρα θα είναι ή , ή , πράγμα άτοπο,
αφού τότε τα ψηφία που διαιρούνται με το θα ήταν σε ποσοστό ή ή , που προφανώς δεν είναι

(β) Αν , ή , ή , τότε ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο. (Το , δεν είναι δυνατόν να είναι μεγαλύτερο
του , γιατί δεν γίνεται οι αριθμοί που διαιρούνται με το και το έχουν ποσοστό πάνω από το ενώ όσοι διαιρούνται
π.χ από το να έχουν ποσοστό μικρότερο από το )

(γ). Μας μένει μόνο η περίπτωση . Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η τελική πρόταση που ζητάμε να συμπληρώσουμε είναι η εξής:

" Το των ψηφίων αυτής της πρότασης διαιρούνται με το , το διαιρούνται με το και το
διαιρούνται με το και με το "

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για την περίπτωση , υπάρχει και μια ακόμα αληθής πρόταση:

"Το των ψηφίων αυτής της πρότασης διαιρούνται με το , το διαιρούνται με το και το
διαιρούνται με το και με το "

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη, που το παρατήρησε και με ενημέρωσε.

Συνεπώς οι απαντήσεις στο πρόβλημα είναι δύο.