Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

[Demetres]

Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο , ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων που ικανοποιούν


Πρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του . Το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς την και η κάθετη στην από το σημείο τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Πρόβλημα 4. Δίνονται διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί
Για ορίζουμε . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός τέτοιος ώστε, για τουλάχιστον διαφορετικές τιμές του , να ισχύει ότι .

[Henri van Aubel]

Ρε παιδιά, το δεύτερο είναι της πλάκας! Βγαίνει με παραγοντοποίηση. Συγκεκριμένα, γίνεται κ.λ.π Επανέρχομαι σε λίγο με τη λύση της γεωμετρίας.

[Henri van Aubel]

Για τη γεωμετρία.

Το τετράπλευρο είναι χαρταετός και άρα
Συνεπώς και άρα
Οπότε είναι
Άρα

[fogsteel]

Πρόβλημα 4. Δίνονται διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί
Για ορίζουμε . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός τέτοιος ώστε, για τουλάχιστον διαφορετικές τιμές του , να ισχύει ότι .

Ας υποθέσουμε πως δεν υπάρχει τέτοις ακέραιος . Τότε
, άτοπο

[Lymperis Karras]

Το πρόβλημα 1 τελειώνει κατευθείαν με , καθώς , άτοπο διότι το δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο

[Ανδρέας Πούλος]

Σχετικά με το επίπεδο των θεμάτων για την επιλογή μαθητών/τριών για ομάδες διεθνών μαθηματικών διαγωνισμών.

Η Κυπριακή Δημοκρατία έχει μόνον 45.000 μαθητές στη Μέση εκπαίδευση.
Από αυτούς οι 12.000 δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική, (αυτό είναι δεδομένο του επιπέδου της γενικής τους εκπαίδευσης).
Από τα στοιχεία αυτά προκύπτει ότι η επιλογή για τις BMO, BJMO κλπ. γίνεται από έναν πολύ περιορισμένο σύνολο μαθητών.
Τα δεδομένα αυτά τα γνωρίζουν πολύ καλύτερα από όλους (προφανώς γνωρίζουν και άλλα δεδομένα) οι επιτροπές των θεματοδοτών της ΚΥ.Μ.Ε.
Συνεπώς, χωρίς πληροφορίες καλό είναι να μην σχολιάζουμε τέτοιου είδους θέματα.
Εξάλλου, μαθηματικούς π.χ. σαν τον Δημήτρη Χριστοφίδη πολλές "μεγάλες" χώρες θα ήθελαν να έχουν για την εκπαίδευσή τους.

[Τσιαλας Νικολαος]

Συμφωνώ απόλυτα! Άλλωστε υπάρχουν και άλλοι 3 διαγωνισμοί ακόμη, στους οποίους μπορεί να ανέβει το επίπεδο δυσκολίας.

[Demetres]

Ρε παιδιά, το δεύτερο είναι της πλάκας! Βγαίνει με παραγοντοποίηση. Συγκεκριμένα, γίνεται $x\left ( 3-y \right )\left ( x-5

Εντάξει αλλά είναι ο πρώτος μας διαγωνισμός και λαμβάνουν μέρος και μαθητές της Α' Γυμνασίου για τους οποίους μπορεί να μην είναι τόσο εύκολο.

[Demetres]

Η Κυπριακή Δημοκρατία έχει μόνον 45.000 μαθητές στη Μέση εκπαίδευση.
Από αυτούς οι 12.000 δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική, (αυτό είναι δεδομένο του επιπέδου της γενικής τους εκπαίδευσης).

Δεν γνωρίζω νούμερα αλλά λαμβάνουμε υπόψη και τους μαθητές που δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική. Σε όλους μας τους διαγωνισμούς δίνουμε και αγγλική μετάφραση. Μάλιστα πριν δυο χρόνια είχαμε και μαθήτρια που μας εκπροσώπησε στην JBMO και η οποία δεν μιλάει ελληνικά.