Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

#1

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 2
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Δίνεται ένα τετραψήφιος αριθμός

ο οποίος είναι τέλειο τετράγωνο, με όλα τα ψηφία του να είναι μικρότερα του επτά. Εάν αυξήσουμε όλα τα ψηφία του

κατά τρία παίρνουμε πάλι ένα τέλειο τετράγωνο. Να βρεθεί ο αριθμός

.

ΘΕΜΑ 2. Έστω

το έγκεντρο ενός τριγώνου ABC

. Οι ευθείες

,

, και

τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

στα σημεία A_1

,

, και

, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ευθεία AA_1

είναι κάθετη στην B_1C_1

.

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι η μοναδική λύση του παρακάτω συστήματος στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:

$\displaystyle \begin{cases} x+y^2+z^3=3\\ y+z^2+x^3=3\\ z+x^2+y^3=3\\ \end{cases}$

είναι η x=y=z=1

.

Manolis Petrakis · #2

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm

ΘΕΜΑ 1. Δίνεται ένα τετραψήφιος αριθμός ο οποίος είναι τέλειο τετράγωνο, με όλα τα ψηφία του να είναι μικρότερα του επτά. Εάν αυξήσουμε όλα τα ψηφία του κατά τρία παίρνουμε πάλι ένα τέλειο τετράγωνο. Να βρεθεί ο αριθμός .

Έστω $K^2=N=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
Και $L^2=M=\overline{(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)}=1000(a+3)+100(b+3)$ =10(c+3)+d+3=N+3333

$\Rightarrow (L-K)(L+K)=3333$ με L,K

διψήφιοι διότι αν $L,K\geq 100\Rightarrow K,L\geq 10000$ άτοπο
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
$\cdot L+K=101 ,L-K=3\cdot 11\Rightarrow L=67,K=34$
$\cdot L+K=101\cdot 3 ,L-K=11\Rightarrow L>100$ αδύνατο
$\cdot L+K=101\cdot 11 ,L-K=3\Rightarrow L>100$ αδύνατο
$\cdot L+K=101\cdot 11\cdot 3 ,L-K=1\Rightarrow L>100$ αδύνατο
Άρα $K=34\Rightarrow N=K^2=34^2=1156$

StamatisGoudis · #3

Καλησπέρα,
Μια λύση για το 2
Αρκεί ν.δ.ο. $\angle A_{1}AC_{1} + \angle AC_{1}B_{1}=90^{\circ}$
Είναι: $\angle AC_{1}B_{1}=\angle B_{1}BC=\frac{\angle B}{2} (1) \angle BAC_{1}= \angle BCC_{1} = \frac{\angle C}{2} (2) \angle A_{1}AB \equiv \angle IAB = \frac{\angle A}{2} (3)$

Με πρόσθεση των (1), (2), (3) έχουμε το ζητούμενο.

Επιπλέον, η $B_{1}C_{1}$ θα είναι μεσοκάθετος της

, αφού από γνωστό λήμμα: $B_{1}A=B_{1}I=B_{1}C$ και $C_{1}A=C_{1}I=C_{1}B$

Ορέστης Λιγνός · #4

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι η μοναδική λύση του παρακάτω συστήματος στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:

$\displaystyle \begin{cases} x+y^2+z^3=3\\ y+z^2+x^3=3\\ z+x^2+y^3=3\\ \end{cases}$

είναι η .

Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις σχέσεις προκύπτει, (x+y^2+z^3)(x^2+y^3+z)(x^3+y+z^2)=27

. Από Hölder όμως, $27=(x+y^2+z^3)(x^2+y^3+z)(x^3+y+z^2) \geqslant (x^2+y^2+z^2)^3$ , συνεπώς $x^2+y^2+z^2 \leqslant 3$ .
(προκύπτει και αλλιώς: προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $\displaystyle \sum (x^3+x)+\sum x^2=9$ , και αφού από ΑΜ-ΓΜ, $\displaystyle \sum (x^3+x) \geqslant 2 \sum x^2$ , προκύπτει $\displaystyle \sum x^2 \leqslant 3$ ).

Άρα, $x+y^2+z^3=3 \geqslant x^2+y^2+z^2$ , οπότε $z^3-z^2 \geqslant x^2-x$ , και οι κυκλικές σχέσεις: $y^3-y^2 \geqslant z^2-z$ , και $x^3-x^2 \geqslant y^2-y$ .
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: x<1

. Τότε, $y^2-y \leqslant x^3-x^2 <0$ , επομένως y<1

και όμοια $z^2-z \leqslant y^3-y^2<0$ άρα και z<1

. Όμως τότε, 3=x+y^2+z^3<3

, άτοπο.
Περίπτωση 2: x>1

. Τότε, $z^3-z^2 \geqslant x^2-x>0$ , άρα z>1

και όμοια $y^3-y^2 \geqslant z^2-z>0$ , συνεπώς y>1

. Όμως τότε, 3=x+y^2+z^3>3

, άτοπο.
Περίπτωση 3: x=1

. Τότε, $z^3-z^2 \geqslant 0$ , άρα $z \geqslant 1$ , $y^3-y^2 \geqslant z^2-z$ , άρα $y \geqslant 1$ , και $0=x^3-x^2 \geqslant y^2-y \geqslant 0$ , συνεπώς ισχύει η ισότητα. Δηλαδή, (x,y,z)=(1,1,1)

.

#5

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 2
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 2. Έστω το έγκεντρο ενός τριγώνου . Οι ευθείες , , και τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στα σημεία , , και , αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στην .

Τα

είναι τα μέσα των τόξων $\overset\frown{BC}, \overset\frown{AC}, \overset\frown{AB}$ αντίστοιχα.

: 2-Θαλής Β.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 1191 φορές

$A_1\widehat MB_1=\dfrac{\overset\frown{A_1B_1}+\overset\frown{AC_1}}{2}=\dfrac{\overset\frown{AC}+\overset\frown{BC}+\overset\frown{AB}}{4}=90^\circ.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ.

Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.

**********************************************
Practice TEST 2
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι η μοναδική λύση του παρακάτω συστήματος στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:

$\displaystyle \begin{cases} x+y^2+z^3=3\\ y+z^2+x^3=3\\ z+x^2+y^3=3\\ \end{cases}$

είναι η .

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι z=max(z,x,y)

Εστω

Από την

παίρνουμε

σε συνδιασμό με την x+y^2+z^3=3

δίνει

Η τελευταία αποκλείει να είναι συγχρόνως τα x,y

μικρότερα η ίσα του

.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x\leq 1\leq y$
Η y+z^2+x^3=3

δίνει $y+z^2+x\geq 3$
και σε συνδιασμό με την x+y^2+z^3=3

προκύπτει $y^2+z^3\leq y+z^2$
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Επειδή δεν μπορεί προφανώς να είναι z<1

αναγκαστικά θα είναι z=1

Επειδή θα έχουμε $0\leq x,y\leq 1$
και x^2+y^3=2

θα είναι

Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Re: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Μέλη σε σύνδεση