Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα 6ης τάξης.

Πρόβλημα 1. Η Αλεξάνδρα έγραψε τους αριθμούς από το ένα έως το εκατό και ο Μιχάλης έσβησε μέρος αυτών. Μεταξύ των εναπομεινάντων,

περιέχουν το ένα στην γραφή τους,

αριθμοί περιέχουν στην γραφή τους το δυο και

αριθμοί δεν περιέχουν ούτε το ένα, ούτε το δυο. Πόσους αριθμούς έσβησε ο Μιχάλης; [4 μόρια]

Πρόβλημα 2. Διαμερίστε το σχήμα, που απεικονίζεται στην εικόνα, σε τέσσερα ίσα μέρη. [5 μόρια]

: mmo_2019_class6_pr2.png (9.03 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Πρόβλημα 3. Ο Σίμος δεν ξέρει να γράφει μερικά γράμματα και αφήνει πάντα λάθος σε αυτά. Στην λέξη ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ θα άφηνε έξι λάθη, στη λέξη ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ εφτά και στη λέξη ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ εννέα. Πόσα λάθη θα κάνει στη λέξη ΟΚΤΑΕΔΡΟ; [6 μόρια]

Πρόβλημα 4. Εφτά πόλεις ενώνονται κυκλικά με δρομολόγια μονής κατεύθυνσης (βλέπε σχήμα). Ονομάστε (σχεδιάστε βελάκια) μερικών ακόμη δρομολογίων μονής κατεύθυνσης έτσι, ώστε από οποιαδήποτε πόλη να μπορούμε να μεταβούμε σε οποιαδήποτε άλλη, κάνοντας το πολύ δυο μετεπιβιβάσεις. Προσπαθήστε να κάνετε το πλήθος των επιπλέων δρομολογίων όσο το δυνατό μικρότερο. [το πολύ 6 μόρια]

: mmo_2019_class6_pr4.png (14.18 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Πρόβλημα 5. Κατά μήκος κυκλικής λίμνης ανά ίσα διαστήματα μεγαλώνουν 2019

δέντρα,

πεύκα και

έλατα. Να αποδείξετε, ότι οπωσδήποτε θα βρεθεί δέντρο, δίπλα στο οποίο μεγαλώνει πεύκο και από την άλλη πλευρά το μεθεπόμενο επίσης θα είναι πεύκο. [8 μόρια]

Πρόβλημα 6. Κάθε έδρα κύβου $6 \times 6 \times 6$ είναι χωρισμένη σε $1 \times 1$ κελιά. Ο κύβος επικολλήθηκε με τετράγωνα $2 \times 2$ έτσι, ώστε κάθε τετράγωνο να καλύπτει ακριβώς τέσσερα κελιά, κανένα από τα τετράγωνα δεν συμπίπτουν και κάθε κελί καλύπτεται από ίδιο αριθμό τετραγώνων. Ποια είναι μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο αριθμός; (Το τετράγωνο μπορεί να καμφθεί κατά μήκος μιας ακμής.) [8 μόρια]

Πηγή

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 24, 2019 2:24 pm

Πρόβλημα 1. Η Αλεξάνδρα έγραψε τους αριθμούς από το ένα έως το εκατό και ο Μιχάλης έσβησε μέρος αυτών. Μεταξύ των εναπομεινάντων, περιέχουν το ένα στην γραφή τους, αριθμοί περιέχουν στην γραφή τους το δυο και αριθμοί δεν περιέχουν ούτε το ένα, ούτε το δυο. Πόσους αριθμούς έσβησε ο Μιχάλης; [4 μόρια]

Πολύ ωραία θέματα. Ας τα ξεκινήσω.

Από το

έως το

υπάρχουν έτσι και αλλιώς (ακριβώς)

αριθμοί με το ψηφίο

. Οι $1, 10-19, 21, 31, ...\, , 91, 100$ (τους μετράμε). Άρα αυτοί δεν σβήστηκαν. Επίσης υπάρχουν ακριβώς

με το ψηφίο

. Οι $2, 12, 20-29, 32, 42, ... \, , 92$ . Άρα δεν σβήστηκαν. Οι αριθμοί αυτοί σε πλήθος, χωρίς να διπλομετρήσουμε τους 12, 21

, είναι

. Βάλε άλλους

χωρίς

ή

, ίσον

. Άρα σβήστηκαν υπόλοιποι 100-67=33

.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 24, 2019 2:24 pm
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Πρόβλημα 2. Διαμερίστε το σχήμα, που απεικονίζεται στην εικόνα, σε τέσσερα ίσα μέρη. [5 μόρια]

Εύκολα από το Πυθαγόρειο (βρίσκοντας πρώτα το μήκος των πλευρών με οδηγό το πλέγμα ή αλλιώς)
τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Και ίσα.

Prødigy · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 24, 2019 2:24 pm
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας

XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα 6ης τάξης.

Πρόβλημα 3. Ο Σίμος δεν ξέρει να γράφει μερικά γράμματα και αφήνει πάντα λάθος σε αυτά. Στην λέξη ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ θα άφηνε έξι λάθη, στη λέξη ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ εφτά και στη λέξη ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ εννέα. Πόσα λάθη θα κάνει στη λέξη ΟΚΤΑΕΔΡΟ; [6 μόρια]

Πηγή

Έχουμε ότι:

$A=\left \{ 2T,2R,2E,A,D,O \right \}\rightarrow 6m, B=\left \{ 3D,2E,W,K,A,R ,O\right \}\rightarrow 7m, C=\left \{ 2E,2O,I,K,S,A,D,R \right \}\rightarrow 9m$
*Παρατηρούμε ότι E,O

λάθος, γιατί αν ήταν σωστά , τότε προκύπτουν άτοπα.

Έχουμε τώρα $A=\left \{ 2T,2R,A,D \right \}\rightarrow 3m ,B=\left \{ 3D,W,K,A,R \right \}\rightarrow 4m, C=\left \{ I,K,S,A,D,R \right \}\rightarrow 5m$
*Έπειτα παρατηρούμε ότι ένα εκ των R,T

είναι λάθος.Καταλήγουμε στο ότι

λάθος.

Συνεπώς $A=\left \{ A,D \right \}\rightarrow 1m,B=\left \{ 3D,W,K,A\right \}\rightarrow 3m,C=\left \{ I,K,S,D,A \right \}\rightarrow 4m$
*Παρατηρούμε πως

λάθος,γιατί δεν γίνεται να είναι λανθασμένο το

Άρα $A=\left \{ - \right \},B=\left \{ W,K \right \}\rightarrow 2m,C=\left \{ I,K,S \right \}\rightarrow 3m$
*Προκύπτει ότι W,K,I,S

λάθος.

Οπότε E,O,R,A,W,K,I,S

λάθος άρα η λέξη OKTAEDRO

έχει

●

mistake(s)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (6η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση