ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου n για τις οποίες ο αριθμός $\displaystyle{A = \sqrt {\frac {9n - 1}{n + 7}}}$ είναι ρητός.

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με περίκεντρο $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}}$ και $\displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}}$ και με $\displaystyle{\lambda > 0}$ .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2}$ συντρέχουν.

3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί $\displaystyle{x,y,z}$ έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}$ .
Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x,y,z}$ ισχύει η ισότητα;

4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί $\displaystyle{z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6}$ των οποίων οι εικόνες $\displaystyle{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}$
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο $\displaystyle{O(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{r > 0}$ .
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης $\displaystyle{z^2 + z + 1 = 0}$ και ισχύουν οι σχέσεις:
$\displaystyle{z_1w^2 + z_3w + z_5 = 0}$ (Ι)
$\displaystyle{z_2w^2 + z_4w + z_6 = 0}$ (ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο $\displaystyle{A_1,A_3,A_5}$ είναι ισόπλευρο,
β) $\displaystyle{\mid z_1-z_2\mid+\mid z_2-z_3\mid+\mid z_3-z_4\mid+\mid z_4-z_5\mid+\mid z_5-z_6\mid+\mid z_6-z_1\mid =3\mid z_1-z_4\mid = 3\mid z_2-z_5\mid = 3\mid z_3-z_6\mid}$

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί $\displaystyle{x,y,z}$ έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}$ .
Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x,y,z}$ ισχύει η ισότητα;

από εδώ

new_member έγραψε: Πρώτα από όλα χρησιμοποιώντας AM-GM έχουμε:

$\displaystyle{(xy)^2 \leq \frac {1}{4} xy(x + y)^2 = \frac {1}{4}xy(2 - z)^2}$ άρα:

$\displaystyle{LHS\leq xy+yz+zx-3xyz+\frac{1}{4}xyz(x+y+z)+xyz = xy+yz+zx-\frac{3}{2}xyz\leq (2-z)z+xy(1-\frac{3}{2}z)}$

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο $\displaystyle{z}$ θα είναι ο μεγαλύτερος εκ των $\displaystyle{x,y,z}$ . Οπότε $\displaystyle{z \geq \frac{2}{3}}$

οπότε $\displaystyle{LHS \leq (2 - z)z \leq 1}$

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί $\displaystyle{x,y,z}$ έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}$ .
Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x,y,z}$ ισχύει η ισότητα;

μια λύση με Lagrange εδώ (aops)

#4

4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί $\displaystyle{z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6}$ των οποίων οι εικόνες $\displaystyle{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}$
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο $\displaystyle{O(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{r > 0}$ .
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης $\displaystyle{z^2 + z + 1 = 0}$ και ισχύουν οι σχέσεις:
$\displaystyle{z_1w^2 + z_3w + z_5 = 0}$ (Ι)
$\displaystyle{z_2w^2 + z_4w + z_6 = 0}$ (ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο $\displaystyle{A_1,A_3,A_5}$ είναι ισόπλευρο,
β) $\displaystyle{\mid z_1-z_2\mid+\mid z_2-z_3\mid+\mid z_3-z_4\mid+\mid z_4-z_5\mid+\mid z_5-z_6\mid+\mid z_6-z_1\mid =3\mid z_1-z_4\mid = 3\mid z_2-z_5\mid = 3\mid z_3-z_6\mid}$

$\displaystyle{w^2+w+1=0\Rightarrow w^3=1\Rightarrow |w|=1}$
$\displaystyle{z_1w^2+z_3w+z_5=0\Rightarrow -(w+1)z_1+z_3w+z_5=0\Rightarrow |z_5-z_1|=|w||z_1-z_3|=|z_1-z_3|\Rightarrow A_5A_1=A_1A_3}$ και κυκλικά άρα $\displaystyle{A_1A_3A_5}$ ισόπλευρο ομοίως το $\displaystyle{A_2A_4A_6}$
που έχει ίσες πλευρές με το προηγούμενο αφού έχουν ίδιο r.

είναι γνωστή άσκηση ότι αν $\displaystyle{ABC}$ ισόπλευρο και $\displaystyle{M}$ σημείο του μικρού τόξου $\displaystyle{BC}$ του περιγεγραμμένου κύκλου τότε $\displaystyle{AM=MB+BC}$ που σημαίνει ότι $\displaystyle{|z_1-z_4|=|z_4-z_3|+|z_4-z_5|}$
Ακόμη $\displaystyle{|z_1-z_2|=|z_3-z_4|=|z_5-z_6|,|z_2-z_3|=|z_4-z_5|=|z_6-z_1|}$ χορδές με ίσες αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες άρα $\displaystyle{|z_1-z_2|+|z_3-z_4|+|z_5-z_6|+|z_2-z_3|+|z_4-z_5|+|z_6-z_1|=3|z_3-z_4|+3|z_4-z_5|=3|z_1-z_4|}$ και κυκλικά το ζητούμενο

#5

size=150]2.[/size] Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με περίκεντρο $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}}$ και $\displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}}$ και με $\displaystyle{\lambda > 0}$ .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2}$ συντρέχουν.

Αν $\displaystyle{H}$ το ορθόκεντρο του $\displaystyle{ABC}$ η $\displaystyle{AA_2}$ τέμνει την $\displaystyle{OH}$ στο $\displaystyle{K:\frac{OK}{KH}=\frac{OA_2}{AH}=\frac{\lambda OA_1}{2OA_1}=\lambda /2 }$ και κυκλικά για τις $\displaystyle{BB_2 , CC_2}$

#6

parmenides51 έγραψε:1. Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου n για τις οποίες ο αριθμός $\displaystyle{A = \sqrt {\frac {9n - 1}{n + 7}}}$ είναι ρητός.

Έχουμε

το οποίο είναι δύναμη του

. Επομένως, για να είναι ο

ρητός πρέπει να υπάρχουν φυσικοί s,t

ώστε να συμβαίνει ένα από τα πιο κάτω

(1) 9n-1 = s^2

και

(2)

και

.

Το (1) απορρίπτεται αφού $9n - 1 \equiv 2 \bmod 3$ αλλά $s^2 \not \equiv 2 \bmod 3$ . Πρέπει λοιπόν 9n-1 = 2s^2

και

. Τότε ο

περιττός, έστω n = 2m+1

. Άρα

και

το οποίο δίνει 9t^2 - s^2 = 32

. Τότε

και επειδή 3t+s > 3t-s

πρέπει να ισχύει ένα από τα πιο κάτω:

(α) 3t+s = 32,3t-s = 1

(β)

(γ)

.

Το (α) απορρίπτεται αφού δεν δίνει ακέραιες λύσεις. Το (β) δίνει t=3,s=7

που δίνουν n=11

και το (γ) δίνει t=s=2

που δίνουν n=1

. Και στις δύο περιπτώσεις ο Α είναι ρητός. ( A = 7/2

στην πρώτη περίπτωση και A = 1

στην δεύτερη.)

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί $\displaystyle{x,y,z}$ έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xyz\le1}$ .
Για ποιες τιμές των $\displaystyle{x,y,z}$ ισχύει η ισότητα;

άλλες λύσεις εδώ (aops) και Lagrange πάλι εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί $\displaystyle{z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6}$ των οποίων οι εικόνες $\displaystyle{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6}$
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο $\displaystyle{O(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{r > 0}$ .
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης $\displaystyle{z^2 + z + 1 = 0}$ και ισχύουν οι σχέσεις:
$\displaystyle{z_1w^2 + z_3w + z_5 = 0}$ (Ι)
$\displaystyle{z_2w^2 + z_4w + z_6 = 0}$ (ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο $\displaystyle{A_1,A_3,A_5}$ είναι ισόπλευρο,
β) $\displaystyle{\mid z_1-z_2\mid+\mid z_2-z_3\mid+\mid z_3-z_4\mid+\mid z_4-z_5\mid+\mid z_5-z_6\mid+\mid z_6-z_1\mid =3\mid z_1-z_4\mid = 3\mid z_2-z_5\mid = 3\mid z_3-z_6\mid}$

άλλες ιδέες εδώ κι εδώ (aops)

Teh · #8

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με περίκεντρο $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}}$ και $\displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}}$ και με $\displaystyle{\lambda > 0}$ .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2}$ συντρέχουν.

Μπορεί κάποιος να δώσει μία λύση με ομοιοθεσία; Φτάνω στο σημείο που δείχνεις ότι οι πλευρές των ομοιόθετων και του τριγώνου είναι παράλληλες αλλά δεν βλέπω πώς μπορώ να συνεχίσω.

#9

Teh έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 14, 2019 1:48 pm

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με περίκεντρο $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma ,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\vec{OA_2} = \lambda\vec{OA_1},\vec{OB_2} = \lambda\vec{OB_1}}$ και $\displaystyle{\vec{O\Gamma_2} = \lambda\vec{O\Gamma_1}}$ και με $\displaystyle{\lambda > 0}$ .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AA_2, BB_2, \Gamma\Gamma_2}$ συντρέχουν.
Μπορεί κάποιος να δώσει μία λύση με ομοιοθεσία; Φτάνω στο σημείο που δείχνεις ότι οι πλευρές των ομοιόθετων και του τριγώνου είναι παράλληλες αλλά δεν βλέπω πώς μπορώ να συνεχίσω.

Με ομοιοθεσία ή θα βρεις το κέντρο της (σε παραπάνω μήνυμα έχει βρεθεί) ή απλούστερα θα κοιτάξεις σύνθεση ομοιοθεσιών.

Πάντως μπορούμε να πούμε, εκμεταλλευόμενοι την παραλληλία που έδειξες, ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά ως προς άξονα ( την ευθεία στο άπειρο), άρα είναι προοπτικά και ως προς σημείο. (αυτό είναι το σημείο συντρέχειας)

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση