ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Το έτος $\displaystyle{2001}$ έχει την εξής ιδιότητα:
Είναι τετραψήφιος αριθμός και αν διπλασιάσουμε το ψηφίο των μονάδων παίρνουμε το ψηφίο των χιλιάδων.
Να βρεθεί το πλήθος όλων των τετραψήφιων αριθμών που έχουν την παραπάνω ιδιότητα.

2. Αν για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\nu}$ ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\frac{1}{\nu(\nu+1)}=\frac{1}{\nu}-\frac{1}{\nu+1}}$
να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2000\cdot 2001}}$ .

3. Αν ο αριθμός $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος, να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=1-\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\nu }}}}$ δεν είναι ποτέ ακέραιος.

4. Στο σχήμα το τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι ορθογώνιο και το τμήμα $\displaystyle{K\Lambda}$ το χωρίζει σε δύο τετράπλευρα που έχουν ίσα εμβαδά.
Αν είναι $\displaystyle{B\Gamma=\alpha,\Gamma\Delta=\beta, BK=x}$ και $\displaystyle{\Lambda \Delta=y}$ , να δειχτεί ότι:
1) $\displaystyle{x=y}$ .
2) Τα τρίγωνα $\displaystyle{BOK}$ και $\displaystyle{\Lambda O \Delta}$ έχουν ίσα εμβαδά ( $\displaystyle{O}$ το κέντρο του).
3) Τα τετράπλευρα $\displaystyle{ABO\Lambda}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta OK}$ έχουν ίσα εμβαδά.

: Eykleidhs 2000 4o.PNG (2.73 KiB) Προβλήθηκε 2348 φορές

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Αν για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\nu}$ ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\frac{1}{\nu(\nu+1)}=\frac{1}{\nu}-\frac{1}{\nu+1}}$
να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2000\cdot 2001}}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε: 3. Αν ο αριθμός $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος, να δειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=1-\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\nu }}}}$ δεν είναι ποτέ ακέραιος.

εδώ κι εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:1. Το έτος $\displaystyle{2001}$ έχει την εξής ιδιότητα:
Είναι τετραψήφιος αριθμός και αν διπλασιάσουμε το ψηφίο των μονάδων παίρνουμε το ψηφίο των χιλιάδων.
Να βρεθεί το πλήθος όλων των τετραψήφιων αριθμών που έχουν την παραπάνω ιδιότητα.

Οι αριθμοί θα είναι στη μορφή $x \boxed. \boxed. y$ όπου x=2y

.
Άρα το

και το

. Έτσι έχουμε τους τετραψήφιους
$2 \boxed. \boxed. 1$ που είναι 100

αριθμοί,
$4 \boxed. \boxed. 2$ που είναι 100

αριθμοί,
$6 \boxed. \boxed. 3$ που είναι 100

αριθμοί και
$8 \boxed. \boxed. 4$ που είναι 100

αριθμοί.
Άρα συνολικά υπάρχουν 400

αριθμοί.

styt_geia · #4

parmenides51 έγραψε: 4. Στο σχήμα το τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι ορθογώνιο και το τμήμα $\displaystyle{K\Lambda}$ το χωρίζει σε δύο τετράπλευρα που έχουν ίσα εμβαδά.
Αν είναι $\displaystyle{B\Gamma=\alpha,\Gamma\Delta=\beta, BK=x}$ και $\displaystyle{\Lambda \Delta =y}$ , να δειχτεί ότι:
1) $\displaystyle{x=y}$ .
2) Τα τρίγωνα $\displaystyle{BOK}$ και $\displaystyle{\Lambda O \Delta}$ έχουν ίσα εμβαδά ( $\displaystyle{O}$ το κέντρο του).
3) Τα τετράπλευρα $\displaystyle{ABO\Lambda}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta OK}$ έχουν ίσα εμβαδά.
Eykleidhs 2000 4o.PNG

1) Τα τετράπλευρα είναι τραπέζια και εφαρμόζοντας τον τύπο για το εμβαδόν τραπεζίου έχουμε

$\displaystyle (ABK\Lambda)=(K\Gamma\Delta\Lambda) \Leftrightarrow \frac{(a-y+x)\beta}{2}=\frac{(a-x+y)\beta}{2} \Leftrightarrow x=y$

2) Τα τρίγωνα BOK

και $\Lambda O \Delta$ είναι ίσα ( $OB=O\Delta,\,\, \Lambda \Delta = BK=x$ και $\widehat{\Lambda \Delta O}=\widehat{OBK}$ ως εντός εναλλάξ) άρα θα έχουν και ίσα εμβαδά.

3) Από υπόθεση $(ABK\Lambda)=(\Gamma\Delta \Lambda K)$ και από το προηγούμενο ερώτημα $(BOK)=(\Lambda O \Delta)$ οπότε $(ABO\Lambda)=(ABK\Lambda)-(BOK)=(\Gamma\Delta \Lambda K)-(\Lambda O \Delta)=(\Gamma \Delta O K)$

lego · #5

Καλησπέρα σε όλους, για το θέμα 3 από τα θέματα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - 2001 υπάρχει λύση?
Καθώς έχω μια λύση αρκετά δύσκολη για Β Γυμνασίου.

#6

lego έγραψε:Καλησπέρα σε όλους, για το θέμα 3 από τα θέματα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - 2001 υπάρχει λύση?
Καθώς έχω μια λύση αρκετά δύσκολη για Β Γυμνασίου.

Κάνοντας τις πράξεις βρίσκεις $\displaystyle{{\rm A} = \frac{\nu }{{2\nu + 1}}}$ .

Είναι $\displaystyle{0 < \nu < 2\nu + 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{\nu }{{2\nu + 1}} < 1 \Leftrightarrow 0 < {\rm A} < 1}$ .

Αλλά, δεν υπάρχει ακέραιος ανάμεσα στο

και στο

.
Οπότε ο αριθμός

δεν είναι ακέραιος.

parmenides51 · #7

lego έγραψε:Καλησπέρα σε όλους, για το θέμα 3 από τα θέματα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - 2001 υπάρχει λύση?
Καθώς έχω μια λύση αρκετά δύσκολη για Β Γυμνασίου.

καλησπέρα
στην παραπάνω δημοσίευση μου (την 2η από την αρχή μετρώντας),
αν πατούσες πάνω στις υπογραμμισμένες λέξεις ''εδώ'' μετά την εκφώνηση του 3ου θέματος
θα σε οδηγούσαν στις λύσεις του που έχουν δοθεί σε άλλο σημείο στο

(= mathematica)
παραπομπές ήταν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2000 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση