Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο

KARKAR · #1

Α) Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{r^2-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}-x=0$ .

: Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Β) Σε σημείο

το οποίο κινείται στην ακτίνα OA=r

, ενός τεταρτοκυκλίου , υψώνουμε

το κάθετο στην ακτίνα , τμήμα

και σχεδιάζουμε το τετράγωνο SPTQ

.

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος

και την $\tan\theta$ , την στιγμή της μεγιστοποίησης .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2023 1:06 pm
Α) Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{r^2-x^2}-\dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}-x=0$ .

Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο.pngΒ) Σε σημείο το οποίο κινείται στην ακτίνα , ενός τεταρτοκυκλίου , υψώνουμε

το κάθετο στην ακτίνα , τμήμα και σχεδιάζουμε το τετράγωνο .

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος και την $\tan\theta$ , την στιγμή της μεγιστοποίησης .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2023 1:06 pm
Α) Λύστε την εξίσωση : $\sqrt{r^2-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}-x=0$ .

Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο.pngΒ) Σε σημείο το οποίο κινείται στην ακτίνα , ενός τεταρτοκυκλίου , υψώνουμε

το κάθετο στην ακτίνα , τμήμα και σχεδιάζουμε το τετράγωνο .

Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος και την $\tan\theta$ , την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Α) Για $\displaystyle - r < x < r,$ είναι $\displaystyle {r^2} - 2{x^2} = x\sqrt {{r^2} - {x^2}} .$ Υψώνω στο τετράγωνο με τον περιορισμό $\displaystyle \frac{{{r^2} - 2{x^2}}}{x} > 0$

$\displaystyle 5{x^4} - 5{r^2}{x^2} + {r^4} = 0$ και παίρνω τις δεκτές ρίζες $\boxed{x = |r|\sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{{2\sqrt 5 }}} ,x = - |r|\sqrt {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{{2\sqrt 5 }}} }$

B) Με OS=x

και Πυθαγόρειο έχω:

: Τ.Σ.Τ.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

$\displaystyle O{T^2} = {r^2} - {x^2} + {\left( {x + \sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right)^2} \Leftrightarrow f(x) = O{T^2} = 2{r^2} - {x^2} + 2x\sqrt {{r^2} - {x^2}}, 0<x<r$

$\displaystyle f'(x) = 2\left( {\sqrt {{r^2} - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }} - x} \right),$ κι επειδή x,r>0

από το ερώτημα (Α) έχουμε για

$\boxed{x = r\sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{{2\sqrt 5 }}} = r\sqrt {\frac{1}{{\phi \sqrt 5 }}}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{O{T_{\max }} = r\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = r\phi }$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}{{x + \sqrt {{r^2} - {x^2}} }}$ και με αντικατάσταση του

$\boxed{\tan \theta = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} = \frac{1}{\phi }}$

Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο

Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Τετράγωνο σε τεταρτοκύκλιο

Μέλη σε σύνδεση