Άνω - κάτω

KARKAR · #1

: Άνω - κάτω.png (9.86 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Βρείτε ημιευθεία με αρχή το

, η οποία να τέμνει την γραφική παράσταση της

σε δύο σημεία

και

, έτσι ώστε το εμβαδόν του "πάνω" από την ευθεία χωρίου να είναι ίσο με εκείνο του "κάτω" .

ohgreg · #2

Καλημέρα!
Η ευθεία που ψάχνουμε είναι της μορφής:

$g(x)=ax, \:a,x>0$

Είναι λοιπόν:

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow x(x^2-5x+7-a)=0$

Προφανώς για x=0

, οι

τέμνονται στην αρχή των αξόνων.
Ας είναι x_1, x_2

οι τετμημένες των σημείων που τέμνονται οι f,g

, με:

$x_1=\dfrac{5-\sqrt{4a-3}}{2}, \:x_2=\dfrac{5+\sqrt{4a-3}}{2}, \: x_2\geq x_1>0, a\geq \frac{3}{4}$

Οπότε:

f(x)>g(x)

για $x\in(0,x_1)$ ,

f(x)<g(x)

για $x\in(x_1,x_2)$

Θέλουμε:

$\displaystyle\int_{0}^{x_1}|f(x)-g(x)|dx=\int_{x_1}^{x_2}|f(x)-g(x)|dx \Leftrightarrow$
$\displaystyle\Leftrightarrow\int_{0}^{x_1}(f(x)-g(x))dx=\int_{x_1}^{x_2}(g(x)-f(x))dx \Leftrightarrow$
$\displaystyle\Leftrightarrow\int_{0}^{x_2}(f(x)-g(x))dx=0\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{5x^3}{3}+\dfrac{7x^2}{2}-\dfrac{ax^2}{2}\Big|_0^{x_2}=0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow x_2^2(3x^2_2-20x_2+42-6a)=0 \overset{x_2\neq0}{\Leftrightarrow}3x^2_2-20x_2+42-6a=0 \: (\ast)$

Θέτουμε τώρα $a=\dfrac{(2x_2-5)^2+3}{4}$ και με πράξεις η $(\ast )$ γράφεται:

$-x_2(12x_2-40)=0\overset{x_2\neq0}{\Leftrightarrow}x_2=10/3$ ,

άρα και a=13/9

.

Συνεπώς, η ζητούμενη ημιευθεία είναι η $g(x)=\dfrac{13}{9}x, x>0$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Xθες το βράδυ είδα το θέμα, σκέφτηκα μια λύση αλλά ήταν πολύ αργά για να τη γράψω.
'Ημουν κουρασμένος...
Η λύση αυτή βασίζεται στο σχήμα, δεν έχει τα πρότυπα αυστηρότητας που θέλω. Τη γράφω γιατί είναι σύντομη.

Η τετμημένη του σημείου

είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει τη θέση τοπικού μεγίστου με τη θέση τοπικού ελαχίστου.

$f'\left ( x \right )=3x^{2}-10x+7, x> 0.$

$\displaystyle f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow 3x^{2}-10x+7=0\Leftrightarrow x=1,\frac{7}{3}$

H θέση τοπικού μεγίστου είναι το

, η θέση τοπικού ελαχίστου είναι το $\displaystyle\frac{7}{3}$

Άρα λοιπόν

$\displaystyle x_{S}=\frac{1+\frac{7}{3}}{2}=\frac{5}{3}$

$\displaystyle y_{S}=f\left ( \frac{5}{3} \right )=\frac{65}{27}$

H ζητουμένη ημιευθεία έχει εξίσωση y=ax, x> 0.

Συνεπώς $\displaystyle \frac{65}{27}=a\cdot \frac{5}{3}$

από όπου προκύπτει ότι $\displaystyle a=\frac{13}{9}$

Έτσι η ζητουμένη ημιευθεία έχει εξίσωση $\displaystyle y=\frac{13}{9}x, x> 0.$

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 20, 2023 2:45 pm
Η τετμημένη του σημείου είναι το μέσο του τμήματος που ενώνει τη θέση τοπικού μεγίστου με τη θέση τοπικού ελαχίστου.

Και μάλιστα το

είναι το σημείο καμπής της τριτοβάθμιας.

Η κατάσταση που περιγράφει η άσκηση είναι γνωστή ιδιότητα του σημείου καμπής της τριτοβάθμιας αλλά σπάνια την βρίσκει κανείς στα βιβλία. Να τα καλά του mathematica, που φέρνουν συχνά-πυκνά ενδιαφέροντα θέματα ή ωραίες λύσεις σε γνώση την μαθηματικής κοινότητας.

KARKAR · #5

: Άνω - κάτω.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Με κατάλληλη μεταφορά της

, το ζητούμενο γίνεται εμφανές , αφού η $g(x)=x^3-\dfrac{4}{3}x$ είναι περιττή .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Noμίζω ότι είναι εύκολο να βρεθεί ότι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης

της

και της ευθείας $\displaystyle y=\frac{13}{9}x$ είναι $\displaystyle \frac{5}{3},\frac{10}{3},0$

Η κοινή τιμή του πάνω και του κάτω εμβαδού είναι ίση με

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{5}{3}}\left [ f\left ( x \right )-\frac{13}{9} x\right ]dx=\int_{\frac{5}{3}}^{\frac{10}{3}}\left [ \frac{13}{9}x-f\left ( x \right ) \right ]dx=\frac{625}{324}$

Άνω - κάτω

Άνω - κάτω

Re: Άνω - κάτω

Re: Άνω - κάτω

Re: Άνω - κάτω

Re: Άνω - κάτω

Re: Άνω - κάτω

Μέλη σε σύνδεση