Άσκηση για υποψηφίους!

Ορέστης Λιγνός · #1

Μια ιδιοκατασκευή

Έστω συνάρτηση $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ , δύο φορές παραγωγίσιμη, ώστε f''(x) x^2+f'(x)x=x-2

για κάθε

, και:
$\bullet$ $f(1) \geq 0$ ,
$\bullet$ υπάρχει $\xi>0$ ώστε η εφαπτομένη της C_f

στο σημείο της $Α(\xi,f(\xi))$ να περνάει από την αρχή των αξόνων, και το σημείο $A(\xi,f(\xi))$ να είναι σημείο καμπής της C_f

.

i) Να βρείτε τον τύπο της f(x)

και να δείξετε ότι $\xi=e$ .

Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι $f(x)=x-(\ln x)^2-1$ , με x>0

.

ii) α) Αφού αποδείξετε ότι η f(x)

αντιστρέφεται, να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f^{-1}}$ .

iii) Έστω G(x)

μία αρχική της

και

μια οποιαδήποτε πραγματική της ρίζα, τέτοια ώστε $r \in (0,e]$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow r} \dfrac{G(x)}{x^2-r^2} \leq \dfrac{e-2}{2e}$

iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha \geq 0$ ισχύει:

$\displaystyle \int_0^\alpha 2f^{-1} (t)dt \geq (2e-4)\alpha -e^2+4e-5$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 11:28 am
Μια ιδιοκατασκευή

Έστω συνάρτηση $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ , δύο φορές παραγωγίσιμη, ώστε για κάθε , και:
$\bullet$ $f(1) \geq 0$ ,
$\bullet$ υπάρχει $\xi>0$ ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο της $Α(\xi,f(\xi))$ να περνάει από την αρχή των αξόνων, και το σημείο $A(\xi,f(\xi))$ να είναι σημείο καμπής της .

i) Να βρείτε τον τύπο της και να δείξετε ότι $\xi=e$ .

Για τα επόμενα ερωτήματα δίνεται ότι $f(x)=x-(\ln x)^2-1$ , με .

ii) α) Αφού αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται, να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης.
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f^{-1}}$ .

iii) Έστω μία αρχική της και μια οποιαδήποτε πραγματική της ρίζα, τέτοια ώστε $r \in (0,e]$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow r} \dfrac{G(x)}{x^2-r^2} \leq \dfrac{e-2}{2e}$

iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha \geq 0$ ισχύει:

$\displaystyle \int_0^\alpha 2f^{-1} (t)dt \geq (2e-4)\alpha -e^2+4e-5$

Ξεκινάω από την τελευταία η οποία βελτιώνεται.
Θα δείξω ότι για $\alpha \geq 0$
είναι
$\displaystyle \int_0^\alpha 2f^{-1} (t)dt \geq 2\alpha$

Δηλαδή
$\displaystyle \int_0^\alpha f^{-1} (t)dt \geq \alpha$

Θεωρούμε την
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f^{-1} (t)dt-x$

Είναι g(0)=0

και
$\displaystyle g'(x)= f^{-1} (x)-1$

Αλλά f(1)=0

οπότε $f^{-1} (0)=1$
Επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα και η $f^{-1}$ είναι.
Αρα για x>0

έχουμε $\displaystyle g'(x)>0$
και τελειώσαμε.

#3

διαιρουμε με $\displaystyle{x}$ και παίρνουμε
$\displaystyle{xf''(x)+f'(x)=1-\frac{2}{x}}$ ή $\displaystyle{(xf'(x))'=(x-2lnx)'}$ οπόhttps://mathematica.gr/forum/memberlist.phpτε $\displaystyle{xf'(x)=x-2lnx+c_1}$ άρα $\displaystyle{f'(x)=1-2\frac{lnx}{x}+\frac{c_1}{x} }$ ή $\displaystyle{f'(x)=(x-ln^2x+c_1lnx)'}$
Tότε $\displaystyle{f(x)=x-ln^2x+c_1lnx+c_2 , x>0}$

Δίνεται οτι η $\displaystyle{y-f(\xi)=f'(\xi)(x-\xi )}$ περνά από το $\displaystyle{(0,0) }$ αρα $\displaystyle{f(\xi)=\xi f'(\xi)}$ ή $\displaystyle{\xi(1-2\frac{ln\xi}{\xi}+\frac{c_1}{\xi})=\xi-ln^2\xi+c_1ln\xi+c_2 }$ ή $\displaystyle{\xi-2ln\xi+c_1=\xi-ln^2\xi+c_1ln\xi+c_2 \Rightarrow ln^2\xi-(2+c_1)ln\xi+c_1-c_2=0}$
Ακόμη πρεπει $\displaystyle{f''(\xi)=0}$ ή $\displaystyle{-(2 + c_1-2ln\xi)/\xi^2)=0 \Leftarrow c_1=2(ln\xi-1)}$ ή $\displaystyle{ln\xi=1+c_1/2}$ οπου αντικαθιστώντας στην πρηγούμενη έχουμε $\displaystyle{c_2=-1-\frac{c_1^2}{4}}$
τελος είναι $\displaystyle{f(1)\ge 0}$ oπότε $\displaystyle{1+c_2\ge 0 \Leftarrow \frac{c_1^2}{4}\ge 0 \Leftarrow c_1=0 , c_2=-1 , ln\xi =1}$ , kαι $\displaystyle{f(x)=x-(lnx)^2-1,x>0}$

$\displaystyle{f'(x)=0}$ τοτε $\displaystyle{1-2lnx/x=\frac{x-2lnx}{x}=\frac{g(x)}{x}}$ ευκολα η $\displaystyle{g}$ εχει ΜΙΝ στο $\displaystyle{2}$ το $\displaystyle{g(2)=2(1-ln2)>0}$ άρα $\displaystyle{g(x)>0}$ και $\displaystyle{f'(x)>0}$ $\displaystyle{f}$ aντιστρέψιμη
$\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=-\infty ,\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}x(1-\frac{ln^2x}{x}-1/x)=\lim_{x\to +\infty}x(1-\frac{\frac{lnx}{x}}{1}-0)=+\infty}$
αρα $\displaystyle{ D_{f^{-1}}=R}$
η $\displaystyle{f}$ εχει κατακόρυφη ασύμπτωτο στο $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{a=\lim_{x\to +\infty}\frac{x-ln^2x-1}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1-\frac{2lnx}{x}-0}{1}=1}$ και $\displaystyle{b=\lim_{x\to +\infty}\-ln^2x-1=-\infty}$

με DLH ψαχνουμε το $\displaystyle{\lim_{x\to r}f(x)/2x=f(r)/2r}$ Εύκολα λοιπόν $\displaystyle{f(x)/x\uparrow}$ και $\displaystyle{r\le e}}$ splaystyle{τοτε
$\displaystyle{f(r)/r\le f(e)/e=e-2/e}$
EKANA MIA ΔΙΟΡΘΩΣΗ
με προλαβε ο Σταύρος στο τελευταίο

#4

Για το τελευταίο
το $\displaystyle{-e^2+4e-5}$ είναι μάλλον παραπλανητικό
Θα δείξουμε ότι
$\int_{0}^{a}f^{-1}(t)\geq (e-2)a=f(e)a$ από ΘΜΤ.ΟΛ αρκει να υπάρχει $\displaystyle{q}$ τετοιο ώστε $\displaystyle{f^{-1}(q)\ge f(e)}$ ας υποθέσουμε
ότι δεν ισχυει τότε θα πρεπε $\displaystyle{f^{-1}(x)< e-2 \forall x> 0}$ οποτε $\displaystyle{f^{-1}(0)=1<e-2}$ ΑΤΟΠΟ

ΜΠΡΑΒΟ ΣΤΟΝ ΟΡΕΣΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ

Άσκηση για υποψηφίους!

Άσκηση για υποψηφίους!

Re: Άσκηση για υποψηφίους!

Re: Άσκηση για υποψηφίους!

Re: Άσκηση για υποψηφίους!

Μέλη σε σύνδεση