Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνεχής και άρτια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow [0,+\infty )$ . Αν

είναι η παράγουσα της

, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:
$\displaystyle{\left (F\circ f \right )(x)+F\left ( \ln\frac{1}{x^{2}+1} \right )=0}$ , τότε: (α.i) Να αποδείξετε ότι η

είναι περιττή στο $\mathbb{R}$ .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\ln\left ( x^{2}+1 \right )$ , $x\in \mathbb{R}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι η

είναι αντιστρέψιμη στα $(-\infty ,0]$ και $[0,+\infty )$ και να βρείτε τον τύπο της $f^{-1}$ στα εν λόγω διαστήματα. Είναι η

αντιστρέψιμη στο $\mathbb{R}$ ?

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

τον άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=-1

αν γνωρίζετε ότι:
$\displaystyle \int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}dx=2-\frac{\pi }{2}$ Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μια απογευματινή κατασκευή.
Έστω η συνεχής και άρτια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow [0,+\infty )$ . Αν είναι η παράγουσα της , που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:
$\displaystyle{\left (F\circ f \right )(x)+F\left ( \ln\frac{1}{x^{2}+1} \right )=0}$ , τότε: (α.i) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή στο $\mathbb{R}$ .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\ln\left ( x^{2}+1 \right )$ , $x\in \mathbb{R}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη στα $(-\infty ,0]$ και $[0,+\infty )$ και να βρείτε τον τύπο της $f^{-1}$ στα εν λόγω διαστήματα. Είναι η αντιστρέψιμη στο $\mathbb{R}$ ?

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονες συντεταγμένων και την ευθεία αν γνωρίζετε ότι:
$\displaystyle \int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}dx=2-\frac{\pi }{2}$ Φιλικά,
Μάριος

Ολίγον τι ψαρωτικό θεματάκι μέχρις να πιάσεις τη φιλοσοφία του! Κατά τα άλλα κυλάει ομαλά.

(α.ι) Εφόσον η γραφική παράσταση της ${\rm F}$ περνάει από την αρχή των αξόνων θα είναι ${\rm F}(0)=0$ . Τότε επειδή η

είναι άρτια θα ισχύει ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ θα είναι και $-x \in \mathbb{R}$ καθώς και
$\displaystyle{f(x)=f(-x) \quad \text{\gr για κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$ Κατά συνέπεια θα είναι $\left ( {\rm F}(x) \right )' = \left ( -{\rm F}(-x) \right ) '$ και άρα ${\rm F(x) = -{\rm F}(-x) + c$ . Επειδή όμως ${\rm F}(0)=0$ θα είναι εν τέλει c=0

και άρα ${\rm F(x) = -{\rm F}(-x)$ οπότε η ${\rm F}$ είναι τελικά περιττή.

(α.ii) Η ${\rm F}$ ως παράγουσα της συνεχούς

είναι παραγωγίσιμη με ${\rm F}'(x)=f(x) \geq 0$ . Συνεπώς είναι γνήσια αύξουσα και άρα 1-1

. Η δοσμένη σχέση δίδει:
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm F}\left ( f(x) \right ) + {\rm F} \left ( \ln \frac{1}{x^2+1} \right ) =0 &\Leftrightarrow {\rm F}\left ( f(x) \right ) +{\rm F}\left ( -\ln \left ( x^2+1 \right ) \right ) =0 \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\overset{{\rm F} \; \text{\gr περιττή}}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} {\rm F}\left ( f(x) \right )-{\rm F}\left ( \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ) =0 \\ &\Leftrightarrow {\rm F}\left ( f(x) \right ) = {\rm F}\left ( \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ) \\ &\!\!\!\!\overset{{\rm F} \; \; \begin{tikzpicture} \draw [thick , >->] (0, 0) -- (0, 0.3); \end{tikzpicture}}{ \Leftarrow \! =\! \Rightarrow} f(x) = \ln \left ( x^2+1 \right ) \quad , \quad x \in \mathbb{R} \end{aligned}}$ (β) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο $\displaystyle{f'(x)=\frac{2x}{x^2+1} , \; x \in \mathbb{R}$ . Είναι f'(0)=0

. Επίσης $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \geq 0$ . Άρα στο $[0, +\infty)$ η

είναι γνήσια αύξουσα ενώ στο $(-\infty, 0]$ η συνάρτηση

είναι γνήσια φθίνουσα. Συνεπώς σε καθένα από τα διαστήματα $[0, +\infty)$ και $(-\infty, 0]$ είναι η

αντιστρέψιμη. Στο $\mathbb{R}$ δε μπορεί να είναι αφού f(1)=f(-1)

λόγω αρτιότητας.

Ας βρούμε την αντίστροφη στο $[0, +\infty)$ . Θέτουμε y=f(x)

και τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} y=f(x) &\Leftrightarrow y = \ln \left ( x^2+1 \right ) \\ &\Leftrightarrow e^y = x^2 +1 \\ &\Leftrightarrow x^2 = e^y -1\\ &\Leftrightarrow x = \sqrt{e^y-1} \end{aligned}}$ Συνεπώς η αντίστροφη στο $[0, +\infty)$ ο τύπος της αντίστροφης είναι ο $f^{-1}(y)=\sqrt{e^y-1}, \; y \geq 0$ .

(γ) Το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται της γραφικής παράστασης , των αξόνων και της ευθείας x=-1

δίδεται του τύπου
$\displaystyle{{\rm E}\left ( \Omega \right ) = \int_{-1}^{0} \left | f(x) \right | \, {\rm d}x}$ Όμως $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ αφού $x^2 + 1 \geq 1$ και κατά συνέπεια $\ln (x^2 +1) \geq 0$ . Άρα:
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{-1}^{0} f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{-1}^{0} \ln \left ( x^2+1 \right ) \, {\rm d}x\\ &=\int_{0}^{1} \ln \left ( x^2+1 \right ) \, {\rm d}x \\ &= \left [ x \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ]_0^1 - 2\int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2+1} \, {\rm d}x \\ &= \ln 2 - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \, {\rm d}x\\ &= \ln 2 - 2 \int_{0}^{1} \left ( 1 - \frac{1}{x^2+1} \right ) \, {\rm d}x \\ &= \ln 2 - 2 + 2 \int_{0}^{1} \frac{{\rm d}x}{x^2+1} \\ &= \ln 2 - 2 + \frac{2 \pi}{4} \\ &= \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2} \approx 0.26394 \end{aligned}}$ (*)

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_0^1 \frac{ {\rm d}x}{x^2+1}}$ θέτουμε $x=\tan y$ και καταλήγουμε στο $\frac{\pi}{4}$ που βγαλα πάνω.

Υ.Σ: Το ολοκλήρωμα που δίδεται πάνω δε μπόρεσα να το χρησιμοποιήσω ... οπότε αναγκάστηκα να αλλάξω γραμμή πλεύσης.

BAGGP93 · #3

Αν στο ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{\ln\,2}\sqrt{e^x-1}\,\mathrm{d}x}$ , κάνεις την αντικατάσταση

$\displaystyle{u=\sqrt{e^x-1}}$ , βρίσκεις

$\displaystyle{\int_{0}^{\ln\,2}\sqrt{e^x-1}\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\dfrac{2\,u^2}{u^2+1}\,\mathrm{d}u=2-\dfrac{\pi}{2}...$

Tolaso J Kos · #4

Έπρεπε να κάνω δηλαδή πράξεις ; Μπα, δε θα παιρνα.. Νόμισα θα βγει από μόνο του κάπου κατά τη διάρκεια του υπολογισμού αλλά αφού δε βγήκε , τι να κάνω ;

BAGGP93 · #5

Tolaso J Kos έγραψε:Έπρεπε να κάνω δηλαδή πράξεις ; Μπα, δε θα παιρνα.. Νόμισα θα βγει από μόνο του κάπου κατά τη διάρκεια του υπολογισμού αλλά αφού δε βγήκε , τι να κάνω ;

Μα αυτή η αντικατάσταση σε γλιτώνει από τις πράξεις.

Christos.N · #6

Να δούμε δηλαδή το λήμμα:

Έστω $\displaystyle{f}$ συνεχής με συνεχή παράγωγο στο $\displaystyle{\left[ {\alpha ,\beta } \right]}$ . αν η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται και η αντίστροφη είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε :

$\displaystyle{\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_{f\left( \alpha \right)}^{f\left( \beta \right)} {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \,dx = \left[ {xf\left( x \right)} \right]_\alpha ^\beta }$

Εφαρμογή:

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \,dx + \int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} } dx = \left[ {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]_0^1}$

Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση