Καθημερινή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Καθημερινή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Μαρ 14, 2017 10:17 am

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x>0, x \neq 1 ώστε να ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(e)=1\\  
f(\frac{1}{e})=-1\\  
f(x) \neq 0\\ 
xf'(x)=-f^2(x)\\ 
x>0, x \neq 1\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) ef(x)+x-2e \geq 0, x>1

3) \displaystyle{\int_{e}^{2e}f(x)dx>\frac{e}{2}}

4) \displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b}

5) H εξίσωση \displaystyle{f(x)=x^3+e^x} έχει μοναδική ρίζα στο (1,2)

6) \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln^2|f(x)|  \right )=;} και \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left (- lnf(x) \cdot sinx  \right )=;} αφου προτείνεται άλλωστε.
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Τρί Μαρ 14, 2017 10:17 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Καθημερινή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 14, 2017 10:32 am

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x>0, x \neq 1 ώστε να ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(e)=1\\  
f(\frac{1}{e})=-1\\  
f(x) \neq 0\\ 
xf'(x)=-f^2(x)\\ 
x>0, x \neq 1\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) ef(x)+x-2e \geq 0, x>1

3) \displaystyle{\int_{e}^{2e}f(x)dx>\frac{e}{2}}

4) \displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b}

5) H εξίσωση \displaystyle{f(x)=x^3+e^x} έχει μοναδική ρίζα στο (1,2)

6) \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( lnf(x) \cdot sinx \right )=;}
Το 6) θέλει διόρθωση.Δεν γράφω τον λόγο γιατί θα είναι λύση στο 1)


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Καθημερινή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Μαρ 14, 2017 8:35 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x>0, x \neq 1 ώστε να ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(e)=1\\  
f(\frac{1}{e})=-1\\  
f(x) \neq 0\\ 
xf'(x)=-f^2(x)\\ 
x>0, x \neq 1\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) ef(x)+x-2e \geq 0, x>1

3) \displaystyle{\int_{e}^{2e}f(x)dx>\frac{e}{2}}


4) \displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b}

5) H εξίσωση \displaystyle{f(x)=x^3+e^x} έχει μοναδική ρίζα στο (1,2)

6) \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( lnf(x) \cdot sinx \right )=;}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στην Καθημερινή ...
1) Είναι: xf'(x)=-f^2(x) \Leftrightarrow -\dfrac{f'(x)}{f^2(x)}=\dfrac{1}{x} \Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{f(x)} \right )' = \left ( lnx \right )' .

Για 0<x<1 έχουμε, από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ, \dfrac{1}{f(x)}=ln x +c_{1}.
Θέτοντας όπου x=\dfrac{1}{e} προκύπτει c_{1}=0. Άρα f(x)= \dfrac{1}{ln x} .

Ομοίως για x>1 έχουμε, από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ, \dfrac{1}{f(x)}=ln x +c_{2}.
Θέτοντας όπου χ=e προκύπτει c_{2}=0. Άρα f(x)= \dfrac{1}{ln x} .

2) Θεωρώ g(x)= e f(x) +x -2e = \dfrac{e}{ln x} +x -2e με g'(x)= \dfrac{x ln^2 x -e }{xln^2 x} =\dfrac{h(x) }{xln^2 x} ,
όπου h(x)= x ln^2 x -e , με h'(x) = ln x (ln x+2).
Εύκολα προκύπτει h'(x)>0 \,\,\,\ \forall x\in(1, +\infty ) \Rightarrow h: γνησίως αύξουσα στο (1, +\infty ) .
Όμως h(e)=0. Άρα h(x)<0 \,\,\,\ \forall x\in(1, e ) και h(x)>0 \,\,\,\ \forall x\in(e, +\infty ) .
Οπότε g'(x)<0 \,\,\,\ \forall x\in(1, e ) και g'(x)>0 \,\,\,\ \forall x\in(e, +\infty ) .
Συνεπώς η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , το g(e)=0. Επομένως g(x)\geq 0.

3) Από το προηγούμενο έχουμε ef(x)+x-2e \geq 0, x>1 και η ef(x)+x-2e δεν είναι παντού μηδέν στο [e,2e] .

Άρα \displaystyle{\int_{e}^{2e}  \left ( ef(x)+x-2e   \right )dx  >0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \displaystyle{ e\int_{e}^{2e} f(x)dx  >- \int_{e}^{2e}xdx+  2e \int_{e}^{2e}dx \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \displaystyle{ e\int_{e}^{2e} f(x)dx  > \dfrac{e^2}{2}   \Leftrightarrow \displaystyle{ \int_{e}^{2e} f(x)dx  > \dfrac{e}{2}   .

4) Τώρα έχουμε \displaystyle{eln\frac{a}{b}+lna\cdot lnb \cdot (b-a)>0, e<a<b} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow e \cdot \dfrac{ln b - ln a }{b-a} < ln a\cdot lnb (1)

Θεωρώ p(x) = ln x. Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την p στο [a,b].
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi \in (a,b) τέτοιο ώστε f' (\xi) =  \dfrac{ln b - ln a }{b-a}.

Αντικαθιστώντας την τελευταία σχέση στην (1) αρκεί να δείξουμε ότι \dfrac{e }{\xi} < ln a\cdot lnb .

Όμως \xi>a>e , οπότε \dfrac{e }{\xi} <1 και \left.\begin{matrix}e<a \Rightarrow 1<ln a & \\ e<b \Rightarrow 1<lnb \end{matrix}\right\}\Rightarrow 1<lna \cdot ln b

Άρα ισχύει \dfrac{e }{\xi} <1<lna \cdot ln b.

5) Θεωρώ την q(x)= f(x)- x^3 - e^x. Είναι\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{+}}q(x)= \lim_{x\rightarrow 1^{+}}   \left ( f(x)-x^3-e^x   \right ) = + \infty ,
διότι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 1^{+}}   \dfrac{1}{ln x} = + \infty , αφού \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^{+}} ln x = 0 και ln x>0 για x> 1 .
Άρα υπάρχει k>1 κοντά στο 1 ώστε q(k)>0 . Επίσης q(2)= f(2) - 8 -e^2 <0 .

Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την q στο [k,2].
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της q στο (k,2)\subseteq (1,2).

Επειδή q'(x)= f' (x) - 3x^2-e^x  < 0 η q είναι γνησίως φθίνουσα , άρα η ρίζα μοναδική.

Θα επανέλθω για το 6.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1694
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Καθημερινή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μαρ 14, 2017 8:45 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x>0, x \neq 1 ώστε να ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(e)=1\\  
f(\frac{1}{e})=-1\\  
f(x) \neq 0\\ 
xf'(x)=-f^2(x)\\ 
x>0, x \neq 1\\ 
\end{matrix}\right.}

6) \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln(-f(x)) \cdot sinx \right )=;}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Καθημερινή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 14, 2017 9:08 pm

Αλλη λύση για το 3)

\int_{e}^{2e}\frac{1}{lnx}dx\geq (2e-e)\frac{1}{ln2e}=\frac{e}{ln2e}> \frac{e}{2}

γιατί e^{2}> 2e


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Καθημερινή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 14, 2017 9:41 pm

Christos.N έγραψε:
erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x>0, x \neq 1 ώστε να ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(e)=1\\  
f(\frac{1}{e})=-1\\  
f(x) \neq 0\\ 
xf'(x)=-f^2(x)\\ 
x>0, x \neq 1\\ 
\end{matrix}\right.}

6) \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln(-f(x)) \cdot sinx \right )=;}
Νομίζω ότι αυτό το όριο είναι το κατάλληλο για το 6)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Καθημερινή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 15, 2017 11:58 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Christos.N έγραψε:
erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με x>0, x \neq 1 ώστε να ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(e)=1\\  
f(\frac{1}{e})=-1\\  
f(x) \neq 0\\ 
xf'(x)=-f^2(x)\\ 
x>0, x \neq 1\\ 
\end{matrix}\right.}

6) \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}\left ( ln(-f(x)) \cdot sinx \right )=;}
Νομίζω ότι αυτό το όριο είναι το κατάλληλο για το 6)
Το κάνω για να κλείσει το θέμα.

Εχουμε ότι ln(-\frac{1}{lnx})\sin x=(\dfrac{\sin x}{x})(xlnx)(ln(-\frac{1}{lnx})\frac{1}{lnx})

Το πρώτο για x\rightarrow 0^{+} πάει στο 1 ενω το δεύτερο στο 0

Το τρίτο έχει ενδιαφέρον.

Θέτουμε t=-\frac{1}{lnx}

x\rightarrow 0^{+}\Rightarrow t\rightarrow 0^{+}

έτσι το τελευταίο είναι \lim_{t\rightarrow 0^{+}}-tlnt=0

Τελικά το όριο είναι 0

Η απόδειξη του \lim_{t\rightarrow 0^{+}}tlnt=0 γίνετε εύκολα με D H L

Το αλλο όριο είναι \lim_{x\rightarrow 0^{+}}(ln\left | \frac{1}{lnx} \right |)^{2}=\infty

γιατί θέτοντας t=\left | \frac{1}{lnx} \right |

έχουμε x\rightarrow 0^{+}\Rightarrow t\rightarrow 0^{+}

και \lim_{t\rightarrow 0^{+}}lnt=-\infty


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης